纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)
图4－4－32
方法点拨
⑥在解正方形网格中的相似三角形问题时，一般把网格的边长看作单位1，借助勾股定理可得三角形的三边长，再检验两个三角形的三边是否胜成比例．
12．一个钢筋三角架的三边长分别是20 cm，50 cm，60 cm，再做一个与其相似的钢筋三角架，现在只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．
解题突破
⑦是否可以把30 cm长的钢筋截成两段？当把50 cm长的钢筋截成两段时，30 cm长的钢筋与原三角架的边有几种对应情况？
⑦
13．如图4－4－33，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t秒．
(1)求线段CD的长．
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数表达式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
⑧
图4－4－33
解题突破
⑧(1)应用等积法求线段长；(2)假设存在，利用方程求解；(3)应用分类讨论思想，注意分类要不重复、不遗漏．
详解详析
【关键问答】
①判定三角形相似的方法：条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组对应边成比例；条件中若有两组对应边成比例，可找它们的夹角相等或考虑三组对应边成比例．
1．D [解析] ∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B.故选D. 2．3
3．证明：设网格中每个小正方形的边长均为1.
由勾股定理，得A1B1＝12＋22＝5，A1C1＝12＋32＝10，A2B2＝12＋12＝2，B2C2＝12＋32＝10.
又知B1C1＝5，A2C2＝2， ∴
A1B1510
＝＝， A2B222A1C110B1C1510＝，＝＝， A2C22B2C2210∴
A1B1A1C1B1C1＝＝， A2B2A2C2B2C2
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
4．C [解析] ①可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确；④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．故选C.
5812455.，3或，或， 25533
[解析] 题中没有指明长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分情况讨论： 5
(1)若长为2的边与长为4的边相对应，则另两边长为和3；
2812
(2)若长为2的边与长为5的边相对应，则另两边长为和；
5545
(3)若长为2的边与长为6的边相对应，则另两边长为和. 33
581245
故三角形框架的另两边长可以是，3或，或，.
25533ABBCAC
6．证明：∵＝＝，
ADDEAE∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE.
7．解：∵AB∥A′B′，∴△OA′B′∽△OAB， ∴
A′B′OB′OA′
＝＝. ABOBOAB′C′OB′A′C′OA′＝，＝， BCOBACOAA′B′B′C′A′C′
＝＝， ABBCAC
∵
∴
∴△ABC∽△A′B′C′.
8．解：图中存在非全等的相似三角形，△EAF∽△ECA.理由如下： 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝90°. 设AB＝k，则BC＝3AB＝3k. 因为E，F是BC边的三等分点， 1
所以BE＝EF＝FC＝BC＝k.
3
由勾股定理，得AE＝AB2＋BE2＝2k，AF＝AB2＋BF2＝5k，AC＝AB2＋BC2＝10k. 在△EAF与△ECA中，
AE2k2AF5k2因为＝＝，＝＝，
CE2k2CA10k2EFk2AEAFEF＝＝，所以＝＝， EACECAEA2k2所以△EAF∽△ECA.
9．C [解析] 设每个小正方形的边长为1.由勾股定理求出①中三角形的各边长分别为2，2，10；③中三角形的各边长分别为2 2，2，2 5.
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