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历年考研数学一真题1987-2017
（答案+解析）
（经典珍藏版）最近三年+回顾过去
最近三年篇（2015-2017）
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设函数f(x)在(??,??)上连续，其二阶导数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)在(??,??)的拐点个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
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【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点
x?0．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正
的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C） 2．设y?12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程23y???ay??by?cex的一个特解，则
（A）a??3,b?2,c??1 （B）a?3,b?2,c??1 （C）a??3,b?2,c?1 （D）a?3,b?2,c?1
【详解】线性微分方程的特征方程为r?ar?b?0，由特解可
2知r1?2一定是特征方程的一个实根．如果r2?1不是特征方程的实根，则对应于f(x)?ce的特解的形式应该为
xQ(x)ex，其中Q(x)应该是一个零次多项式，即常数，与条
件不符，所以r2?1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得
. . .
a??(2?1)??3,b?2?1?2，同时y*?xex是原来方程的一个解，代入
可得c??1应该选（A） ３．若级数
???an条件收敛，则x?3,x?3依次为级数?1)n的
n?1?nan(xn?1（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数
???an条件收敛等价于幂级数
在x?1处条件收
n?1?anxnn?1敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即lima?n?1a?1，所以?nan(x?1)n的
n??nn?1收敛半径R?limnann??(n?1)a?1，绝对收敛域为(0,2)，显然x?3,x?3n?1依次为收敛点、发散点，应该选（B）
４．设D是第一象限中由曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x所围成
的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则
??f(x,y)dxdy?（ ）
D?1（Ａ）
??3d?sin12?f(rcos?,rsin?)rdr（Ｂ）
4?2sin2? word可编辑
?1??3d??sin12?f(rcos?,rsin?)rdr
42sin2??1（
Ｃ
）
??3d??sin12?f(rcos?,rsin?)dr （Ｄ）
42sin2??1??3d??sin2?1f(rcos?,rsin?)dr
42sin2?【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
2xy?1?2r2sin?cos??1?r2?1sin2??r?1sin2? 4xy?1?4r2sin?cos??1?r2?1?12sin2?r?2sin2? ????也就是D：?????43?11
??2sin???r?sin???1所以
??f(x,y)dxd?y??3d??sin2?1f(rcos?,rsin?)rdr，所以应该选
D42sin2?. . .
（B）．
222222（A）2y1?y2?y3 （B）2y1?y2?y3 222222（C）2y1?y2?y3 （D） 2y1?y2?y3
?111??1?????5．设矩阵A??12a?,b??d?，若集合???1,2?，则线性方程组
?14a2??d2??????100??100?????【详解】Q??e1,?e3,e2???e1,e2,e3??001??P?001?，
Ax?b有无穷多解的充分必要条件是
（A）a??,d?? （B）a??,d?? （C）a??,d?? （D）a??,d?? 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
?1?B?(A,b)??111?12ad??1111??1111?????01a?1d?1?????01a??14a2d2????03a2?1d2?1????00(a?1)(a?2)
方程组无穷解的充分必要条件是r(A)?r(A,b)?3，也就是
(a?1)(a?2)?0,(d?1)(d?2)?0同时成立，当然应该选（D）．
6．设二次型f(x在正交变换x?Py下的标准形为2y2221,x2,x3)1?y2?y3，
其中P??e1,e2,e3?，若Q??e1,?e3,e2?，则f(x1,x2,x3)在x?Qy下的标准形为
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??0?10????0?10???100?QT???00?1??PT
??010???2f?xTAx?yTPAPy?yT???1??yT
1???d?1??1??(d?1)(所?d?2)???1?????QTAQ???0????PTAP???????0???????????????????????????????
故选择（A）．
7．若A,B为任意两个随机事件，则（ ）
（A）P(AB)?P(A)P(B) （B）P(AB)?P(A)P(B) ??????
以
. . .
（C）P(AB)?P(A)?P(B)P(A)?P(B) （D）P(AB)?
22【详解】lim?ln(cosx)?tanx1． ?lim??2x?0x?0x2x2P(A)?P(B)【详解】P(A)?P(AB),P(B)?P(AB),所以P(AB)?故选
10．
?sinx??xdx? ． ????22择（C）．
8．设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则
E(X(X?Y?2))?（ ）
（A）?3 （B）3 （C） ?5 （D）5 【
详
解
】
E(X(X?Y?2))?E(X2)?E(XY)?2EX?DX?(EX)2?EXEY?2EX?5
故应该选择（D）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．limln(cosx)x?0x2? word可编辑
?2?1?cosx?【详解】只要注意
sinx1?cosx为奇函数，在对称区间上积分为零，
?所以?2?sinx???2?????x?dx?2221?cosx??0xdx?4.
11．若函数z?z(x,y)是由方程ez?xy?zx?cosx2?确定，则
dz|(0,1)? ．
【详解】设F(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2，则
Fx?(x,y,z)?yz?1?sinx,Fy?(x,y,z)?xz,Fz?(x,y,z)?ez?xy
且
当
x?0,y?1时，
z?0，所以
?z|Fx?(0,,)1?z0Fy?(0,,)1?x(0,)??1F??1,,)??z?(0,1,0)?y|(F01,0) 0z?(0,1?0,也就得到dz|(0,1)??dx.
12．设?是由平面x?y?z?1和三个坐标面围成的空间区域，则
. . .
???(x?2y?3z)dxdydz? ．
?则X?1~N(0,1)．
【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称性，也就是
P?XY?Y?0??P?Y(X?1)?0??P?Y?0,X?1?0??P?Y?0,X?1?0?
???xdxdydz????ydxdydz????zdxdydz
??????(x?2y?3z)dxdydz?6???zdxdydz?61zdzdxdy?31z(1?z)2dz?1???0??D?0z4
2002?120213．n阶行列式
? ．
002200?12【详解】按照第一行展开，得Dn?1n?1n?2Dn?1?(?1)2(?1)?2Dn?1?2，有
Dn?2?2(Dn?1?2)
由于Dn?1n?11?2,D2?6，得Dn?2(D1?2)?2?2?2．
14．设二维随机变量(XY,)服从正态分布N(1,0;1,1;0，
)则P?XY?Y?0?? ．
【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，
X~N(1,1),Y~N(0,1)，且相互独立．
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三、解答题
15．（本题满分10分）设函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx，
g(x)?kx3在x?0时为等价无穷小，求常数a,b,k的取值．
【详解】当x?0时，把函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得
f(x)?x?a(x?x2x312?3?o(x3))?bx(x?6x3?o(x3)) ?(1?a)x?(?a?b)x2?(a3)x3?o(x32)???1?a?0由于当x?0时，f(x),g(x)是等价无穷小，则有???a?b?0，
?2??a?3?k
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