【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系． 【专题】计算题．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A点坐标为（1，1），B点坐标为（2，），再利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=﹣x+，然后根据三角形三边的关系得到|PA﹣PB|≤AB，当点P为直线AB与x轴的交点时，取等号，则线段AP与线段BP之差达到最大，然后确定直线y=﹣x+与x轴的交点坐标即可． 【解答】解：把A（1，y1），B（2，y2）代入y=得y1=1，y2=，则A点坐标为（1，1），B点坐标为（2，）， 设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，1），B（2，）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y=﹣x+，
因为|PA﹣PB|≤AB，
所以当点P为直线AB与x轴的交点时，线段AP与线段BP之差达到最大， 把y=0代入y=﹣x+得﹣x+=0，解得x=3， 所以P点坐标为（3，0）． 故答案为（3，0）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 19．（2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是 4 ．
【考点】垂径定理；三角形中位线定理．
【分析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可． 【解答】解：法①：如图：当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，
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∵CD∥AB，CP⊥CD， ∴CP⊥AB，
∵M为CD中点，OM过O， ∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°， ∴四边形CPOM是矩形， ∴PM=OC，
∵⊙O直径AB=8， ∴半径OC=4， 即PM=4， 故答案为：4．
法②：连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PMmax=4
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度．
三．解答题（共5小题） 20．（2013?武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b． （1）求证：AE=b+a； （2）求a+b的最大值；
22
（3）若m是关于x的方程：x+ax=b+ab的一个根，求m的取值范围．
【考点】圆的综合题． 【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；
（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b） 222
=a+b+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；
22
（3）由x+ax=b+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）连接BE，
第22页（共29页）
∵△OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠AEB=30°， ∵AB为直径，
∴∠ACB=∠BCE=90°， ∵BC=a，
∴BE=2a，CE=a， ∵AC=b，
∴AE=b+a；
（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1， ∴a+b=1，
∵S△ABC=AC?BC=AB?CH，
∴AC?BC=AB?CH，
222
∴（a+b） =a+b+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2， ∴a+b≤，
故a+b的最大值为，
（3）∵x+ax=b+ab， 22
∴x﹣b+ax﹣ab=0， ∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0， ∴（x﹣b）（x+b+a）=0， ∴x=b或x=﹣（b+a），
当m=b时，m=b=AC＜AB=1， ∴0＜m＜1，
当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m， 又∵AB＜AE≤2AO=2， ∴1＜﹣m≤2， ∴﹣2≤m＜﹣1，
∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．
2
2
2
2
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 21．（2014春?泰兴市校级期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：
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（1）求证：BE⊥AG；
（2）求线段DH的长度的最小值．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，再根据垂直的定义证明即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°， ∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°﹣90°=90°， ∴BE⊥AG；
（2）解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH=AO=AB=2， 在Rt△AOD中，OD=
=
=2
，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， DH的最小值=OD﹣OH=2﹣2．
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