2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若关于x的方程4x2?4mx?3m?1?0有两个相等的实数根，则m3?4m2?4m?2的值为（ ）
A．?3 B．?2 C．?1 D．1 【答案】 A
【解答】依题意，△?16m2?16(3m?1)?0。因此，m2?3m?1?0。 ∴ m2??3m?1，m2?3m??1。
∴ m3?4m2?4m?2?m(?3m?1)?4m2?4m?2?m2?3m?2??1?2??3。
2．如图，ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n（m?n）。坐标原点O为AD的中点，A、D、E在y轴上。若二次函数y?ax2的图像过C、F两点，则
A．3?1 B．2?1 C．23?1 D．22?1 【答案】 B
m【解答】依题意，点C坐标为(m，)，点F的坐标为
2(?n，n?m)。 2n?（ ） m由二次函数y?ax2的图像过C、F两点，得
（第2题图）
?m2?am??2，消去a，得n2?2mn?m2?0。 ??n?m?a(?n)2??2nnn∴ ()2?2??1?0，解得?2?1（舍负根）。
mmm∴
n?2?1。 m1
3．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD?1BC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC?（ ） A．25 B．35 C．37 D．47
【答案】 D
【解答】如图，连AG，并延长交BC于点F。 D∵ G为△ABC的重心，且BD?12BC， ∴ F为BC中点，且
AGGF?21，DB?BF?FC。 过点F作FM∥DE，交AC于点M。 则
CMCF1AEAGCE?CD?3，EM?GF?21。 设CM?k，则CE?3k，EM?2k，AE?4k。 ∴ AC?7k，
AEAC?4k7k?47。 另解：如图，连AG，并延长交BC于点F。 ∵ G为△ABC的重心，且BD?12BC， ∴ F为BC中点，且AGGF?21，DB?BF?FC。 ∴
FD2AG2DC?3，GF?1。 在△AFC中，利用梅涅劳斯定理，得
FDDC?CEEA?AGGF?1。
∴ 2CE3?EA?21?1，CEEA?34。 ∴ AEAC?47。
2
2AGEBC（第3题图）
AGEMDBFC（第3题答题图）
AGEDBFC（第3题答题图）
4．如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，?BAC?45?，若△ABC外接圆的半径为
2，则AH?（ ）
A．23 B．22 C．4 D．3?1 【答案】 B
【解答】如图，连结BO并延长交⊙O于点D，连HC、CD、
AOHBCDA。
∵ O为△ABC的外心，
∴ BD为⊙O直径，DC?BC，DA?AB。 又H为△ABC的垂心， ∴ AH?BC，CH?AB。 ∴ AH∥DC，CH∥DA。
∴ 四边形AHCD为平行四边形，AH?DC。 ∵ ?BAC?45?，△ABC外接圆的半径为2， ∴ ?BDC??BAC?45?，BD?4。 ∴ AH?DC?22。
5．满足方程x2?4xy?19y2?151的整数对(x，y)有（ ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 【答案】 C
【解答】方程x2?4xy?19y2?151化为(x?2y)2?151?15y2。 依题意，A?151?15y2为完全平方数。 由A?151?15y2?0，得y2?（第4题图）
ADOHBC（第4题答题图） 151。结合y为整数，得y2?10。故，y2?0，1，4，9。 15当y2?0时，A?151?15y2?151，不是完全平方数。 当y2?1时，A?151?15y2?136，不是完全平方数。 当y2?4时，A?151?15y2?91，不是完全平方数。 当y2?9时，A?151?15y2?16?42。
2??y?3?y??3?y?9∴ 方程化为?，即，或 ??222??(x?6)?16?(x?6)?16?(x?2y)?16?y?3?y??3?y?3?y??3∴ ?，或?，或?，或?。
?x?6?4?x?6?4?x?6??4?x?6??4?x??2?x?10?x?2?x??10∴ ?，或?，或?，或?。
y??3y?3y?3y??3????3)、(2，3)、(?2，?3)、(?10，?3)，共4对。 ∴ 满足方程的整数对有(10，
3
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知a，b，c为正整数，且a?b?c。若b?c，a?c，a?b是三个连续正整数的平方，则a2?b2?c2的最小值为 。
【答案】 1297
【解答】依题意，设b?c?(n?1)2，则a?c?n2，a?b?(n?1)2，n为正整数，且n?1。
3n2?2∴ 2(a?b?c)?(n?1)?n?(n?1)?3n?2，可见n为偶数，且a?b?c?。
22222n2?4nn2?2n2?4n∴ a?，b?，c?。
222可见，n?6，且当n增大时，a2?b2?c2的值也随之增大。 又n?6时，a?30，b?19，c?6符合要求。 ∴ a2?b2?c2的最小值为302?192?62?1297。
4
7．如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上。若函数y?（x?0）
x
的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为 。
【答案】 8
yD)，E(xE，yE)，则xDyD?xEyE?4。【解答】设D(xD，
作EF?AB于F，由E为AC中点，得F为AB中点，且
EF?11BC?AD。 22∴ yD?2yE。结合xEyE?xDyD?xD?2yE，得xE?2xD。 ∴ OA?AF，AB?2AF?2OA?2xD。 ∴ 矩形ABCD的面积S?AB?AD?2xDyD?8。
4
（第7题图）
（第7题答题图）
8．如图，△ABC是边长为8的正三角形，D为AB边上一点，⊙O1为△ACD的内切圆，
⊙O2为△CDB的边DB上的旁切圆。若⊙O1、⊙O2的半径都是r，则r? 。
【答案】 3 C【解答】如图，设⊙O1切△ACD的三边AC、CD、DA依次于点G、H、E，边DB切⊙O2于点F，CD、CB的延长线切⊙O2于点M、N。
则由⊙O1、⊙O2的半径都是r，△ABC为正三角形，以及切线长性质定理，得
AG?AE?3r，CH?CG?8?3r，BF?BN?AO1BDO23r，3（第8题图）
CCM?CN?8?3r。 3343r)?(8?3r)?r 33AGO1E∴ EF?HM?CM?CH?(8?HFDMO2BN43383r?r?r。 ∴ AB?AE?EF?FB?3r?333∴
83r?8，r?3。 3（第8题答题图） 9．若实数x满足?x???2x???3x??2018，则?4x?? 。其中?x?表示不超过x的最大整数。
【答案】 1346
【解答】设x?a?m，其中a为整数，0?m?1。
则?x???2x???3x???a?m???2(a?m)???3(a?m)??6a??2m???3m?。
111∵ 当0?m?时，?2m???3m??0?0?0；当?m?时，?2m???3m??0?1?1；
332当
122?m?时，?2m???3m??1?1?2；当?m?1时，?2m???3m??1?2?3。 233∴ 对任意实数x，?x???2x???3x?的值具有形式：6k，6k?1，6k?2，6k?3，k为整数。
∵ 2018?6?336?2，?x???2x???3x??2018。 ∴ x?336?m，其中
12?m?。 23∴ ?4x???4(336?m)??4?336??4m??1344?2?1346。
5
10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：
把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这n个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为 。
【答案】 9
【解答】设这n个凸多边形中，有k3个三角形，k4个四边形，k5个五边形，…，km个m边形。
则这n个凸多边形的内角和为
k3?(3?2)?180??k4?(4?2)?180??k5?(5?2)?180??L?km?(m?2)?180?。
另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360?。矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180?。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为90?。因此，这n个凸多边形的内角和为6?360??8?180??4?90?。
?4∴ k3?(3?2)?18?0k?(4?2?)1k8?50??(?5?2L)1?m8k?0?m?(?
?2)1?80?6?360??8?180??4?90?。
k3?2k4?3k5?L?(m?2)km?22。 ……… ①
再考虑这n个凸多边形的边数。
由于每个凸m边形有m条边，因此，这n个凸多边形的边数和为3k3?4k4?5k5?L?mkm。 另一方面，由条件知，在矩形内部的18条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此，这n个凸多边形的边数和为18?2?12?48。
L∴ 3k3?4k4?5k5??m8 ………② mk?4。
由①、②，消去k3，得k4?2k5?L?(m?3)km?9。 ∴ k4?9。
又如图所示的划分符合要求，此时，k3?4，k4?9。 ∴ k4的最大值为9，即这n个凸多边形中，最多有9个四边形。
6
（第10题答题图） 三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
0)、B(x2，0)两点，且11．已知二次函数y?2x2?4bx?c的图像交x轴于A(x1，x2x126??。若函数y?2x2?4bx?c在b?1?x?b?3上的最小值为?6，求b，c的值。 x1x250)、B(x2，0)两点， 【解答】∵ 函数y?2x2?4bx?c的图像交x轴于A(x1，∴ x1，x2是方程2x2?4bx?c?0的两个实根。 ∴ x1?x2?2b，x1x2?c。 ………………………… 5分 22x2x1x12?x2(x1?x2)2?2x1x2(x1?x2)226又??， ???2?x1x2x1x2x1x2x1x254b226?2?∴ ，10b2?9c。………………① ………………………… 10分 c52∵ y?2x2?4bx?c?2(x?b)2?c?2b2，在b?1?x?b?3上的最小值为?6。 ∴ x?b?1时，y??6。
∴ 2?c?2b2??6 …………② ………………………… 15分 由①、②，解得c?10，b??3。
∴ b??3，c?10。 ………………………… 20分
7
12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB?AD，M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足?BAN??CAM。
求证：MN∥AC。 【解答】∵ AB?AD， ∴ ?ADB??ABD。
∴ ?ACM??ADB??ABD??ABN。 又?CAM??BAN， ∴ △ABN∽△ACM。 ∴
ABBNAC?CM ………… ①。 …………………… 5分
设AC、BD相交于点E，
∵ ?BAE??CAB，?ABE??ACB。 ∴ △ABE∽△ACB。 ∴
ABAC?BECB。………………… ② …………………… 10分
又M为BC边中点， ∴ CM?BM，结合 ①，得ABAC?BNCM?BNBM。 结合 ②，得BEABBNCB?AC?BM， ∴
BMBNBC?BE。 …………………… 15分 ∴ MN∥EC，即MN∥AC。 …………………… 20分
8
ADNBMC（第12题图）
ADENCBM（第12题答题图）
13．已知关于x的方程x2?kx?k?9999?0的两根都是素数，求k的值。 【解答】设方程x2?kx?k?9999?0的两根分别为p、q，
?p?q?k则由韦达定理，知?，pq?p?q?9999。
?pq??k?9999∴ (p?1)(q?1)?10000?24?54 ………… ① …………………… 5分 显然p，q都不等于2，因此，p，q都是奇数。 ∴ 若
p?1q?1??22?54。 …………………… 10分 22p?1q?1p?1，中有一个数为奇数，不妨设为奇数，则
222p?1m?5，其中m?1，2，3，4。 2当m?1时，p?9，不是素数，舍去； 当m?2时，p?49，不是素数，舍去； 当m?3时，p?249，不是素数，舍去。 当m?4时，p?1249是素数。此时，
q?1?22，q?7，也是素数。 2∴ p?1249，q?7，k?p?q?1256，符合要求。 …………………… 15分 若当当当
p?1q?14p?1q?1，都是偶数，则??5，不妨设p?q，则
2442p?10q?14?5，?5时，p?3，q?2499，q不是素数，舍去； 44p?11q?13?5，?5时，p?19，q?499，p，q都是素数； 44p?12q?12?5，?5时，p?99，q?99，p，q都不是素数，舍去； 44∴ p?19，q?499，k?p?q?518，符合要求。
综上所述，k?518，或k?1256。 …………………… 20分
9
14．一个由36个单位小方格组成的6?6的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n的最大值。
【解答】n的最大值为8。
先考虑一个3?3的方格表，其中有k个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，由枚举可以知道，k的最大值为2。 ………………… 10分
并且只有如下图所示的两种情况（包括对称的情形）。
RRRR将一个6?6的方格表分成4个3?3的方格表，由于每个3?3的方格表中至多有2个红色小方格，于是n?2?4?8。 ………………………… 15分
另一方面，如下图所示的染色恰有8个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2。
综上所述，n的最大值为8。 ………………………… 20分
RRRRRRRR 10
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