已知圆方程即(x-2)+(y-2)＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1 因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
22
2k?2?3k?32?5k?52?1k?1k?1 即
2
整理得12k-25k+12＝0
解得k＝
43或k＝34 L′的方程为y+3＝
43(x+3);或y+3＝(x+3)。34 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
［例5］求过直线x?2y?4?0和圆x2?y2?2x?4y?1?0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
过原点；（2）有最小面积.
（）解：设所求圆的方程是：x2?y2?2x?4y?1???x?2y?4??0 即：x2?y2??2???x?2?2???y?1?4??0（1）因为圆过原点，所以1?4??0，即???14故所求圆的方程为：x?y?（）2277x?y?0.42将圆系方程化为标准式，有：
22???5?2?4?2?x????y?2?????????2?4?5?5?当其半径最小时，圆的面积最小，此时???222为所求.524??8?4?故满足条件的圆的方程是?x????y???.
5??5?5?点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待
定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
［例6］（06年辽宁理科）已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)（x1x2≠0）是抛物线y?2px(p?0)上的两个动点，O是坐标原点，向量OA,OB满足｜OA?OB｜＝｜OA?OB｜.设圆C的方程为x?y?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 （1）证明线段AB是圆C的直径；
222
（2）当圆C的圆心到直线x?2y?0的距离的最小值为
25时，求p的值. 52
2
解：（1）证明 ∵｜OA?OB｜＝｜OA?OB｜，∴（OA?OB）＝（OA?OB）， 整理得：OA?OB＝0 ∴x1x2＋y1y2＝0
设M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MA?MB＝0 即 (x?x1)(x?x2)＋(y?y1)(y?y2)＝0 整理得：x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 故线段AB是圆C的直径.
（2）设圆C的圆心为C（x,y），则
x1?x2?x???2
?
y?y2?y?1
?2?
∵y1?2px1，y2?2px2(p?0)
22yy2∴x1x2?12
4p又∵x1x2＋y1y2＝0 ，x1x2＝－y1y2
22yy2∴－y1y2?12
4p∵x1x2≠0，∴y1y2≠0 ∴y1y2＝－4p
222x?x1?x21112222?(y1?y2)?(y1?y2?2y1y2)?y1y2 24p4p4p ＝
1(y2?2p2) p22所以圆心的轨迹方程为y?px?2p 设圆心C到直线x?2y?0的距离为ｄ，则
＝
|x?2y|5|?12(y?2p2)?2y|p5p5?|(y?p)2?p2|5pp5＝
当y＝p时，ｄ有最小值∴p＝2.
四、典型习题导练
，由题设得
25 5yy=2x+bA1．直线3x?y?23?0截圆x2?y2?4得的劣弧所对的圆心角为 （ ）
ππππ
B. C. D. 6432
22
2.已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)+y=4相切 ，那么a的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
A.
3. 如果实数x、y满足等式(x-2)+y＝３，则
2
2
OB1xy的最大值x为： .
22
4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x+y-6x+a=0（a<9），C、D点所在直线l的斜率为
1. 3（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；
（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；
（3）如果ABCD的外接圆半径为25，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.
22
5.如图，已知圆C：（x+4）+y=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).
（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.
§7.2圆锥曲线
一、知识导学
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹.
x2y2y2x22．椭圆的标准方程：2?2?1，2?2?1 （a?b?0）
abab3.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数
e，那么这个点的轨迹叫做椭圆. 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式.
4．椭圆的准线方程
x2y2a2a2对于2?2?1，左准线l1:x??；右准线l2:x?.
ccaby2x2a2a2对于2?2?1，下准线l1:y??；上准线l2:y?.
ccaba2a2?c2b2?c??5.焦点到准线的距离p?（焦参数） ccc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称.
?x?acos?6.椭圆的参数方程?(?为参数).
y?bsin??7．双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线. 即MF1?MF2?2a. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
8．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
22xy 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：2?2?1(a?0,b?0)；
aby2x2y 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：2?2?1(a?0,b?0)
ab(2)a,b,c有关系式c?a?b成立，且a?0,b?0,c?0.
222
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