即点P在双曲线x2?y2?1上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－2, 0 )、 F (2, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).
[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，
10，求椭圆的方程. 2x2y2解：设所求椭圆的方程为2?2=1.
ab且OP⊥OQ，｜PQ｜=
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：
?x2y2?2?2?1 ①?ab?y?x?1 ② ? 将②代入①，整理得
(a2?b2)x2?2a2x?a2(1?b2)?0， ③
设方程③的两个根分别为x1、x2，则直线y=x+1和椭圆的交点为
P(x1,x1+1)，Q(x2,x2+1)
由题设OP⊥OQ，｜OP｜=
10，可得 2?x1?1x2?1?x?x??1?12?102?22(x?x)?[(x?1)?(x?1)]?()2121?2?
整理得
?(x1?x2)?2x1x2?1?0 ①?4(x1?x2)2?16x1x2?5?0 ②?
解这个方程组，得
11??xx?xx?????124?124 或 ? ??x?x??3?x?x??11212??22?? 根据根与系数的关系，由③式得
?2a2?2a231?????a2?b22?a2?b22 (1)? 或 (2) ?
2222?a(1?b)?1?a(1?b)??1??44?a2?b2?a2?b2 解方程组(1)、(2)得
?a2?2?22??a? ?22 或?3
?b??b2?23?? 故所求椭圆方程为
x2y2x2y2?? =1 ， 或 =1. 222233[例6]已知椭圆C1：
的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。（1）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（2）若p＝
x2y2?43＝1，抛物线C2：(y?m)2?2px(p?0)，且C1、C2
4，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线3AB的方程. 解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为x＝1，
33）或（1，－）， 2299 因为点A在抛物线上，所以?2p，p＝.
489 此时，抛物线C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
16 从而点A的坐标为（1，
(2)当抛物线C2的焦点在直线AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 y?k(x?1).
?y?k(x?1)?2222 由?x2消去y得(3?4k)x?8kx?4k?12?0 ① y2?1??3?4设A、B的坐标分别为 （x1,y1）、（x2,y2）.
8k2则x1，x2是方程①的两根，x1＋x2＝. 23?4k因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦， 所以｜AB｜＝（2－且
111x1）＋（2－x2）＝4－(x1?x2)，222pp4）＋（x2?）＝x1?x2?p＝x1?x2?. 22341从而x1?x2?＝4－(x1?x2)
3216168k2?所以x1?x2?，即 2993?4k解得k??6.
21、
因为C2的焦点F（,m）在直线y?k(x?1)上，所以m??k，
336即m??
36当m?时直线AB的方程为y??6(x?1)；
36当m??时直线AB的方程为y?6(x?1).
3｜AB｜＝（x1?
四、典型习题导练
1．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：y=2x+1截得的弦长为15，则抛物线方程为
22
2.直线m：y=kx+1和双曲线x－y=1的左支交于A、B两点，直线l过点P（－2，0）和线段AB的中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为
x2y23．已知椭圆C∶? ?1上存在关于直线l∶y?2x?m对称的两点，94试求m的取值范围.
2
4． 设过原点的直线l与抛物线y=4(x－1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，
（1）求直线l的方程； （2）求|AB|的长.
2
5． 如图，过抛物线y=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程.
3
9．设曲线C的方程是y＝x-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单 位长度后得曲线C1. (1)写出曲线C1的方程； (2)证明曲线C与C1关于点A(
ts,)对称； 22t3(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s＝?t且t≠0.
4
§7.4轨迹问题
一、知识导学 1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
2.点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点??f1(x0,y0)?0 ?f(x,y)?0?200方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就
没有交点.
3.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率. 当0＜e＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e＞1时，轨迹为双曲线 4.坐标变换
（1）坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.
（2）坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则
?x??x?h?x?x??h??y?y??k(1)? 或 (2)?y??y?k
公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 二、疑难知识导析
1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：
(1)理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合；
(2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言； (3)注意挖掘题目中的隐含条件； (4)注意反馈和检验.
2.求轨迹方程的基本方法有： (1)直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成x,y的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整理.
(2)定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程.
(3)待定系数法：已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数. (4)相关点法：当动点P(x,y)随着另一动点Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点Q在某已知曲线上,且Q点的坐标可用P点的坐标来表示,则可代入动点Q的方程中,求得动点P的轨迹方程. (5)参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去t,便可得动点P的普通方程. 另外,还有交轨法、几何法等.
3.在求轨迹问题时常用的数学思想是：
(1)函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程及函数关系；
(2)数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合；
(3)等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.
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