三、经典例题导讲
22
[例1]如图所示，已知P(4，0)是圆x+y=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
22
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|=|AO|222
－|OR|=36－(x+y)
又|AR|=|PR|=(x?4)2?y2
所以有(x－4)+y=36－(x+y),即x+y－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x+y－4x－10=0,得
2
22
2
2
2
2
2
x?4y?0, ,y1?22x?42yx?4－10=0 )?()2?4?22222
整理得 x+y=56,这就是所求的轨迹方程. (技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. [例2]某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.
建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5
∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为
116(x?)224?2y=1 ① 253同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x－
1242
)+y=1 ② 2339123912912,),Q(,?)，∴r=?()2?()2?
21414714141414由①、②可解得P(故所求圆柱的直径为
6 cm. 722[例3] 直线L：y?k(x?5)与圆O：x?y?16相交于A、B两点，当k变动时，弦AB
的中点M的轨迹方程.
错解：易知直线恒过定点P（5,0），再由OM?AP，得：
OP∴
2?OM2?MP
2x2?y2?(x?5)2?y2?25，整理得：
5?25?2 ?x???y?2?4?分析：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时0?x?216. 5[例4] 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. 解：建立坐标系如图所示，
设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0). 设M(x,y）是轨迹上任意一点.
(x?a)2?y2|MA|则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得
22|MB|(x?a)?y(1－λ)x+(1－λ)y+2a(1+λ)x+(1－λ)a=0
(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).
2
2
2
2
2
2
2
2a(1??2)2
(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x+y+x+a=0.点M的轨迹是以
1??22
2
a(1??2)2a?(－，0)为圆心，为半径的圆.
1??2|1??2|[例5]若抛物线y=ax-1上，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的取值
范围.
分析：若存在A、B关于直线y+x=0对称，A、B必在与直线y+x=0垂直的直线系中某一条与
2
抛物线y=ax-1相交的直线上，并且A、B的中点M恒在直线y+x=0上. 解：如图所示，设与直线y+x=0垂直的直线系方程为
y=x+b 由
2
2
?y?x?b 得 ?2?y?ax?1ax-x-(b+1)=0 ① 令 △＞0
即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0
整理得
4ab+4a+1＞0 ②
2
在②的条件下，由①可以得到直线y=x+b、抛物线y=ax-1的交点A、B的中点M的坐标为
211,+b）,要使A、B关于直线y+x=0对称，则中点M应该在直线y+x=0上，所以有 2a2a11+（+b）=0 ③ 2a2a13即 b=- 代入②解不等式得 a＞
a4（
因此，当a＞
32
时，抛物线y=ax-1上总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称. 4四、典型习题导练
1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
2.高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 3．设直线2x-y-3=0与y轴的交点为P，点P把圆(x+1)+y ＝25的直径分为两段，则其长度之比是
4.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
2
2
x2y25.双曲线2?2=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，
abA1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.
x2y26.已知椭圆2?2=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平
ab分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.
§7．5综合问题选讲
一、知识导学
(一)直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.
3．了解二元一次不等式表示平面区域.
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用. 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法.
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. (二)圆锥曲线方程
1． 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.
2． 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3． 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4．了解圆锥曲线的初步应用. （三）目标
1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3.理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解
?x?rcos?圆的参数方程?（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的
y?rsin??判定方法.
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、疑难知识导析
1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.
相关推荐：
loading