如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．
(2)奇偶性规律
若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．
例5．若y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使loga(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logau，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=loga(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即loga2＞loga(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logau应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令
故排
除D，选B．
说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确． 3．函数单调性与奇偶性的综合运用
例6．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本3全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
故所求函数及其定义域为
但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要
论函数的增减性来解决．
由于v1v2＞0，v2-v1＞0，并且
又S＞0，所以即
则当v=c时，y取最小值．
说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大． （二）函数的图象
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
1．作函数图象的一个基本方法
例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6) (2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)
说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．
在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想． 2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．
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