例8．在直角坐标平面上有一点列P对一切正整数n，1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，点Pn位于函数y?3x?数列?xn?。
135的图象上，且Pn的横坐标构成以?为首项，?1为公差的等差42⑴求点Pn的坐标；
⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn(0,n2?1)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：
111。 ????k1k2k2k3kn?1kn⑶设S??x|x?2xn,n?N,n?1?,T??y|y?4yn,n?1?，等差数列?an?的任一项an?S?T，其中a1是S?T中的最大数，?265?a10??125，求?an?的通项公式。
53解：（1）xn???(n?1)?(?1)??n?
2213535?yn?3?xn???3n?,?Pn(?n?,?3n?)
4424（2）?cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.?设cn的方程为：
2n?3212n?5y?a(x?)?,
2422把Dn(0,n2?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x?(2n?3)x?n?1。
11111??(?) kn?y'|x?0?2n?3，?kn?1kn(2n?1)(2n?3)22n?12n?31111111111?[(?)?(?)???(?)] ?????792n?12n?3k1k2k2k3kn?1kn25711111(?)?? 252n?3104n?6（3）S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}，
T?{y|y??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1} ?S?T?T,T中最大数a1??17.
设{an}公差为d，则a10??17?9d?(?265,?125)，由此得
=
248?d??12,又?an?T?d??12m(m?N*), 9?d??24,?an?7?24n(n?N*).?说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出kn，
解决（3）的关键在于算出S?T及求数列?an?的公差。
例9．数列?an?中，a1?8,a4?2且满足an?2?2an?1?ann?N
*⑴求数列?an?的通项公式；
⑵设Sn?|a1|?|a2|???|an|，求Sn；
1(n?N*),Tn?b1?b2???bn(n?N*)，是否存在最大的整数
n(12?an)m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理m，使得对任意n?N*，均有Tn?32⑶设bn=
由。 解：（1）由题意，an?2?an?1?an?1?an，?{an}为等差数列，设公差为d， 由题意得2?8?3d?d??2，?an?8?2(n?1)?10?2n. （2）若10?2n?0则n?5，n?5时,Sn?|a1|?|a2|???|an|
8?10?2n?n?9n?n2, 2n?6时，Sn?a1?a2???a5?a6?a7??an ?a1?a2???an??S5?(Sn?S5)?2S5?Sn?n2?9n?40
n?9n?40n?611111（3）?bn???(?)
n(12?an)2n(n?1)2nn?11111111111n?)?(?)]?. ?Tn?[(1?)?(?)?(?)???(222334n?1nnn?12(n?1)mnm**?若Tn?对任意n?N成立，即对任意n?N成立，
32n?116n1m1?(n?N*)的最小值是，??,?m的最大整数值是7。 n?12162m*. 即存在最大整数m?7,使对任意n?N，均有Tn?322故Sn?9n?n2n?5
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
例10．如图，在y轴的正半轴上依次有点A1,A2,?,An,?其中点
A1(0,1),A2(0,10)，且|An?1An|?3|AnAn?1|(n?2,3,4,?)，在射线y?x(x?0)上依次
有点B1,B2,?,Bn,?点B1的坐标为（3，3），且|OBn|?|OBn?1|?22(n?2,3,4,?) ⑴用含n的式子表示|AnAn?1|； ⑵用含n的式子表示An,Bn的坐标； ⑶求四边形AnAn?1Bn?1Bn面积的最大值。
|AnAn?1|1?,且|A1A2|?10?1?9，
|An?1An|3111?|AnAn?1|?|A1A2|()n?1?9()n?1?()n?3
333解：（1）?（2）由（1）得|A1A2|?|A2A3|???|An?1An|?9?3?1???()13n?4?2711n?4?() 2232711n?4?())，?|OBn|?|OBn?1|?22且|OB1|?32 223?{|OBn|}是以32为首项，22为公差的等差数列
?点An的坐标(0,?|OBn|?32?(n?1)22?(2n?1)2?Bn的坐标为(2n?1,2n?1)（3）连接AnBn?1，设四边形AnAn?1Bn?1Bn的面积为Sn，则
111292712 Sn?S?AnAn?1Bn?1?S?BnBn?1An?[()n?3]?(2n?3)??22?[?()n?1]2322232299n3?6n??n?1,?Sn?1?Sn?n?1?0,即Sn?1?Sn,?{Sn}单调递减. 2332947?9?. ?Sn的最大值为S1?22说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知{|AnAn?1|}为等比，{|OBn|}为等差，（3）
利用函数单调性求最值。
例11．设正数数列{an}为一等比数列，且a2=4，a4=16．
说明：这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．
例12．已知抛物线x2?4y，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过
11的直线交抛物线于点P，再过作斜率为的直线交抛物线于点P?，P223，241如此继续，一般地，过点P作斜率为的直线交抛物线于点Pn?1，设点Pn(xn,yn)． nn2（Ⅰ）令bn?x2n?1?x2n?1，求证：数列{bn}是等比数列．
31（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn?1与的大小．
43n?1022解：（1）因为P、在抛物线上，故①(x,y)P(x,y)x?4y,xnnnn?1n?1n?1nnn?1?4yn?1②，又因为
点P1作斜率为
直线PnPn?1的斜率为
12n，即
yn?1?yn1?，①②代入可得
xn?1?xn21x2n?1?x2n11?n?xn?1?xn?n?24xn?1?xn22?bn?x2n?1?x2n?1?(x2n?1?x2n)?(x2n?x2n?1)
b11111?2n?2?2n?3??2n?2，故n?1??{bn}是以为公比的等比数列；
4222bn44131n（2）Sn??(1?n)?Sn?1?n，故只要比较4与3n?10的大小．
3444n(n?1)2nn1223?1?3n?9?3n?10(n?3)， 方法（一）4?(1?3)?1?Cn?3?Cn?3???1?3n?23131当n?1时，Sn?1?； 当n?2时Sn?1?；
43n?1043n?1031*当n?3,n?N时，Sn?1?．
43n?10k方法（二）用数学归纳法证明，其中假设n?k(k?3,k?N)时有4?3k?10,
k?1则当n?k?1时,4?4?4k?4(3k?10)?[3(k?1)?10]?9k?27?3(k?1)?10.
an)，?
是公差为-1的等差数列，又2a2-a1，2a3-a2，?，2an?1-an，?
(1)求数列{an}的通项公式； (2)计算
(a1+a2+?+an)．
分析：由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{an}的相关项构成，分别求出它们的
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