高考数学专题突破数形结合思想

高考数学专题突破：数形结合思想

一．知识探究：

数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

1．数形结合的途径 （1）通过坐标系形题数解

借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）

实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式(x?2)2?(y?1)2?4

（2）通过转化构造数题形解

许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a＞0与距离互化，将a与面积互化，将a+b+ab=a+b－2abcos?(??60?或??120?)与

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余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。

2．数形结合的原则 （1）等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。

（2）双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。

例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。

（3）简单性原则

就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。

二．命题趋势

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

数形结合是每年高考必考的内容，预测2008年对本专题的考察为：选择题可采用的简易解法，还有函数问题对应图形性质等，尤其关注三个“二次”的互相转化。

三．例题点评

题型1：利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题 例1．（1）（2007年湖南理3）设M，N是两个集合，则“M是“MN??”

N??”

的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

（2）（1999全国，1）如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A.（M∩P）∩S C.（M∩P）∩

I B.（M∩P）∪S D.（M∩P）∪

IS S

解析：（1）B；由韦恩图知MMN???MN??.

N????MN??;反之，

（2）Ｃ；由图知阴影部分表示的集合是M∩P的子集且是

IS的子集，故答案为Ｃ。

点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。

例2．（1）（06重庆卷）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）

（2）（06浙江卷）对a,b?R,记max|a,b|=??a,a?b函数f（x）＝max||x+1|,|x－2||(x?R)

?b,a＜b的最小值是 。

解析：（1）如图所示，单位圆中AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当AB的长小于半圆时，函数y?f(x)的值增加的越来越快，当AB的长大于半圆时，函数y?f(x)的值增加的越来越慢，所以函数y?f(x)的图像是D。

（2）由x?1?x?2??x?1?2??x?2?2?x?1， 2??x?1故f?x?????x?2??1???x??2?，其图象如右， ?1???x??2??y?x?2y?x?1

则fmin?x??f????1??2?13?1?。 22点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良

好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。 题型2：解决方程、不等式问题

例3．若方程lg?x2?3x?m?lg?3?x?在x?0，3内有唯一解，求实数m的取值范围。

解析：（1）原方程可化为??x?2??1?m?0?x?3? 设y1???x?2??1?0?x?3?，y2?m

在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0，3）内有唯一解，知y1与y2的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是?1?m?0或m?1。

22????

22例4．已知u?1，v?1且?logau???logav??logaau?logaav22?????a?1?，求

loga?uv?的最大值和最小值。

解析：令x?logau，y?logav，

则已知式可化为 ?x?1???y?1??4?x?0，y?0?，

22 再设t?loga?uv??x?yx?0，y?0，由图3可见，则当线段y??x?t

22??x?0，y?0?与圆弧?x?1???y?1??4?x?0，y?0?相切时，截距

?t取最大值

tmax?2?22（如图3中CD位置）；当线段端点是圆弧端点时，t取最小值tmin?1?3（如图中AB位置）。因此loga(uv)的最大值是2?22，最小值是1?3。

点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型3：解决三角函数、平面向量问题

例5．（1）（07年北京理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为?，那么cos2?的值等于

（2）（2007年陕西15）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值

。

为 。

解析：（1）

7；注意图形是正方体，充分利用全等及直角三角形的性质处理问题； 25222222

（2）6；解析：（OC）＝（λOA+μOB）=λOA+μOB+2λμOA?OB=12；注意

OA与OC的夹角为30°，OA与OB的夹角为120°，结合图形容易得到OB与OC的夹角

为90°，得μ=0；这样就得到答案。

点评：综合近几年的高考命题，平面向量单纯只靠运算解题是不够的，需要结合几何特征。

例6．（2007山东20）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定