方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结
??A1B2，A2B2?102，
A1A2?20?302?102， 60?A1A2B2是等边三角形，?B1A1B2?105??60??45?，
在?A1B2B1中，由余弦定理得
22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B1?A1B2cos45?， 2?20?(102)?2?20?102??200222B1B2?102.
因此乙船的速度的大小为102?60?302. 20答：乙船每小时航行302海里。
点评：三角形经常和正余弦定理结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的处理实际问题，注意对解的存在性的讨论。 题型4：解析几何问题
?x?1,?22例7．（1）（06湖南卷）已知?x?y?1?0,则x?y的最小值是 ；
?2x?y?2?0?（2）（06全国II）过点（1，2）的直线l将圆(x－2)＋y＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ 。
2
2
?x?1?22解析：（1）由?x?y?1?0，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则x?y?2x?y?2?0?的最小值是5。
（2）（数形结合）由图形可知点A(1,2)在圆(x?2)?y?4的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l?OA，所以kl??1??1?2。
kOA2?222点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。
例8．（1）(06上海卷)若曲线y＝|x|＋1与直线y＝
2kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件
是 。
?x?1,x?0解析：作出函数y?|x|?1??的图象，如
?x?1,x?0?右图所示：所以，k?0,b?(?1,1)；
2x2y2（2）（06江西卷）如图，椭圆Q：2?2?1(a?b?0)ab的右焦点为F(c，，B 0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A两点，P为线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a2?1?cos??sin?，b2?sin??0??≤?????，设轨迹H??的最高点和最低点分别为M和N，当tan?为何值时，△MNF为一个正三角形？
x2y2解析：如图，（1）设椭圆Q：2＋2＝1（a?b?0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），
ab222222?1）?bx1＋ay1＝ab…………（又设P点坐标为P（x，y），则?
222222??bx2＋ay2＝ab…………（2）1?当AB不垂直x轴时，x1?x2，
22
由（1）－（2）得b（x1－x2）2x＋a（y1－y2）2y＝0，
y1－y2b2xy， ?＝－2＝x1－x2ayx－c?bx＋ay－bcx＝0…………（3），
2?当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3），
22222
故所求点P的轨迹方程为：bx＋ay－bcx＝0，
22
22
2
c2（x－）y2c22（2）因为轨迹H的方程可化为：＋＝（），
a2b22acbccbc?M（，），N（ ，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，
22a22abcb?222则tan＝2a＝，即a＝3b，由于a?1?cos??sin?，
ca62??4?b2?sin??0??≤?，则1＋cos?＋sin?＝3 sin?，得tan?＝。
??3?点评：对于直线与圆锥曲线的相交及相关问题，借数言形是常用的方法，可以通过斜率
处理垂直、夹角等问题，等等。 题型5：导数问题 yy?f?(x)例9．（06天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图
b aO x象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
解析：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。
点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。
33例10．（06浙江卷）已知函数f(x)=x+ x，数列｜xn｜(xn＞0)的第一项xn＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线与经过（0，0）和（xn,f (xn)）两点的直线平行（如图）
求证：当n?N*时，
22(Ⅰ)xn?xn?3xn?1?2xn?1;（Ⅱ）()n?1?xn?()n?2。
1212证明：（I）因为f(x)?3x?2x,所以曲线y?f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线斜率
2kn?1?3xn?2xn?1. ?1222因为过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线斜率是xn?xn,所以xn?xn?3xn?1?2xn?1.
'2（II）因为函数h(x)?x?x当x?0时单调递增，
22222而xn?xn?3xn?1?2xn?1?4xn?1?2xn?1?(2xn?1)?2xn?1，
所以xn?2xn?1，即
xn?11xxx1?,因此xn?n?n?1?????2?()n?1. xn2xn?1xn?2x1222又因为xn?xn?2(xn?1?xn?1),令yn?xn?xn,则
2yn?11?. yn2121112因此xn?xn?xn?()n?2,故()n?1?xn?()n?2.
2222因为y1?x1?x1?2,所以yn?()n?1?y1?()n?2.
12点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。 题型6：平面几何问题
例11．已知?ABC三顶点是A(4,1),B(7,5),C(?4,7)，求?A的平分线AD的长。 解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点A,B,C，画出?ABC的边及其?A的平分线AD。（如图）
第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：
（1）AB?AC；（2）?BAD??CAD?45?； （3）CD?2DB，（4）?ABC?2?ACB?60?等等。
证明：∵A(4,1),B(7,5),C(?4,7)∴AB?(3,4),AC?(?8,6),AB?5,AC?10 ∵AB?AC??3?8?4?6?0
∴（1）AB?AC，∵AD是?A的平分线； ∴（2）∵?BAD??CAD?45?，平分线定理) ；
∴（3）CD?2DB，∵tan?ABC?tan?60??CDDB?ACAB?10?2(角53?2，
∴（4）?ABC?2?ACB?60?不正确，
第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点D作DE?AB，
交AB于点E，则有?BDE∽?BCA或DE?110AC?等等。又在Rt?ADE中，（可33以口答出）AD?2DE?102。 3
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