高数2期中练习题1

高数2期中练习题1

向量与微分学部分：

一、极值点、驻点

1．设f(x,y)?x?xy?y的驻点为（0，0），则f(0,0)是f(x,y)的（ ）

（A）极大值 （B）极小值 （C）非极值 （D）不能确定 2．设函数z?x?xy?y?3x?6y，则点（0，3）（ ）

（A）不是驻点（B）是驻点但非极值点 （C） 极小值点 （D）极大值点

3．设函数z?z(x,y)由方程x?2y?3z?xy?z?9?0确定，则函数z的驻点是 。 4. 设函数f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点（1，-1）取得极值，则常数a? .

5．设函数z?z(x,y)由方程x?6xy?10y?2yz?z?18?0确定，求函数z?z(x,y)的极值点和极值。 （参考答案：C,C,(0,0),-5,（-9,-3）） 二、向量、方向导数

1．函数u?3xy?2xy?1在点P(3,2)沿着与x轴正向成?倾角方向的方向导数等于( ) （A）603?45 （B）60?453 （C）?603?45 （D）?60?453 2．设u?ln(x?2322222222222213y2?z2)在点A(1,0,1)处沿着A(1,0,1)指向B(3,?2,2)方向的方向导数是 .

3. 设a,b为非零向量，且满足(a?3b)?(7a?5b),(a?4b)?(7a?2b)，则a,b的夹角?为 . （参考答案：B,三、全微分

1?, ） 23x11．设u?()z，则duy2．设z?ecos(xy)(1,1,1)? 。

，则dz? 。

3．设u?x，则du? 。 (参考答案：dx?dy, ?e四、切平面、法线 1．曲面z?y?lncoxysysinxy(ydx?xdy) , yxy?1dx?xy?lnxdy )

x在点(1,1,1)处的法线方程为（ ） z（A）x?1?y?1?xz?1z?1y?1z?13?z（B）x?1?y?1? （C）x?1?（D）x?y? ??12?1222．曲面z?e?2xy?3在点(0,2,1)处的切平面方程为 .

3．曲面z?xy上点M处的法线垂直于平面2x?y?z?5，则点M的坐标为 （ ） （A）(?1,2,?2) （B）(1,2,2) （C）(?1,?2,2) （D）(1,?2,?2) (参考答案：D, 3x?z?1?0, A ) 五、可微条件（总练习题）

1．在点处f(x,y)可微的充分条件是（ ）

（A）f(x,y)的所有二阶偏导数存在 （B）f(x,y)连续

（C）f(x,y)的所有一阶偏导数连续 （D）f(x,y)连续且偏导数存在 2. 函数f(x,y)可微的必要条件是 。

?xy,(x,y)?(0,0)?3. 函数f(x,y)??x2?y2在（0,0）处（ ）

??0,(x,y)?(0,0)(A) 连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在 (C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在 (参考答案：C, f(x,y)所有的一阶偏导数存在, C) 六、偏导数相关问题

1. 设x?y?z?4z?0，则2. 设f(x,y)?xy?222?z= ?xy, 则fx?(0,1)= , fy?(0,1)=

x2?y2?2z?z3. 设z?f(x?y,xy), 其中f具有二阶连续的偏导数，则= ，= ?x?y?x22?2z?z4. 设函数z?f(xy,xy)具有二阶连续的偏导数，求= ，2=

?y?y22?2z?z5. 设z?x?y?3xy,则= ，= . ?x?y?x332?2z?z6. 设e?xyz?0,则= ，2= .

?x?xz7. 设z?x(x?0,x?1)，求证

yx?z1?z??2z. y?xlnx?y?2f?2f22z?f(x?y,2xy)也满足8. 设函数f(?,?)具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，证明函数??022?????2f?2f拉普拉斯方程??0.

?x2?y2?xy,x2?y2?0?29. 函数f(x,y)??x?y2，问（1）函数f(x,y)在点（0,0）处是否连续？（2）函数f(x,y)在点（0,0）

?0,x2?y2?0?处的偏导数在点（0,0）是否可微？说明理由。

10. 设z?z(x,y),由z?z(u,v),u?x?ay,v?x?by复合而成，且z?z(x,y)具有二阶连续的偏导数，欲把方程

?2z?2z?2z?2z62??2?0简化为?0，则常数a,b满足（ ） ?x?x?y?y?u?v（A）a??2,b??2 （B）a?3,b?3 （C）a??2,b?3 （D）a?2,b??3

?2u?2u111. 设函数u?f(x?y)满足拉普拉斯方程2??dsdt，f??(x)存在，证明 222???x?y1?s?ts2?t2?x2?y222f??(r)?1f?(r)??ln(1?r2)，其中r?x2?y2. rya?x?y22212. 二元函数f(x,y)?ln(x?y)?的定义域为

13. 求极限

(x,y)?(0,0)limx2?y21?x?y?122? .

(参考答案：1.

22x???2(x2?y2)f12???xyf22???f2?, 4. 2xyf1??x2f2?， , 2. 1; -1 3. 2xf1??yf2?，4xyf112?z342y2zez?2xy3z?y2z2ezyz???4xyf12???xf2??2xf1??4xyf11，, 22, 5. 3x?3y，?6y, 6.

(ez?xy)3ez?xy227. 提示：

?z?z?yxy?1,?xy?lnx, ?x?y8. 提示：已知f11?f22?0，且

?f?f?2xf1?2yf2,??2yf1?2xf2,?x?y?2f?2f1?2x(2xf11?2yf12)?2y(2xf21?2yf22), 2?x?2f??2f1?2y(?2yf11?2xf12)?2x(?2yf21?2xf22)?y29. 提示：（1）连续

(x,y)?(0,0)limxyx?y22?0?f(0,0)

（2）不可微。先计算fx(0,0)?0,fy(0,0)?0，且

(?x,?y)?(0,0)limf(?x,?y)?f(0,0)?[fx(0,0)??x?fy(0,0)??y]?x??y22?(?x,?y)?(0,0)lim?x??y?x??y22极限不存在

10. C, 12. {(x,y)x?y?0,x2?y2?a2}, 13. =2 ,提示：用极坐标变换或者分母有理化，由连续性可得)

七、条件极值问题（用拉格朗日乘数法） 证明：

1. 圆内接三角形中，正三角形的面积最大。 2. 求平面

xyz???1和柱面x2?y2?1的交线上与xoy平面距离最小的点。 345223. 求z?x?2y到平面x?2y?3z?2的最短距离。（

14） 8（参考答案：1. 提示：设圆的半径为r，连接圆心到三角形的三个顶点，三个顶角分别假设为?,?,?，则 条件方程为：??????2?,0??,?,???，

12r(sin??sin??sin?) 212令拉格朗日函数： L?r(sin??sin??sin?)??(??????2?)分别求偏导数并令为零，解得三个角相等

2xyz4335222. 提示：令拉格朗日函数： L?z??(???1)??(x?y?1)，解得点为(,,)

3455512目标函数为：S?ABC?3. 提示：令拉格朗日函数： L?(x?2y?3z?2)??(x?2y?z)，解得点为(,,22214111)，最短距离为。）

86612积分学部分

1．设f(x,y)是连续函数，则I?（A）

?a0dx?f(x,y)dy(a?0)?（ ）

0x?a0dy?f(x,y)dx （B）?dy?f(x,y)dx （C）?dy?f(x,y)dx （D）?dy?f(x,y)dx

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