第十一章反常积分

(二) 教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别

法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．

(1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．

(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

(三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分与瑕积分收敛的方法，要求

学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．

(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题． (2) 举例说明：当??a|f(x)|dx收敛时，不一定有limf(x)?0，由此

x???使学生对柯西准则有进一步的理解．

一 无穷积分的性质:

⑴ f(x)在区间 [ a , ?? )上可积 , k— Const , 则函数kf(x)在区

????[ a , ?? )上可积 , 且

?kf(x)dxa?k?af(x)dx.

⑵ f(x)和g(x)在区间 [ a , ?? )上可积 , ? f(x)?g(x)在区间

??????[ a , ?? )上可积 , 且

?(fa?g)??af??g.

a⑶ 无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译 F(A)?B, A???.)

??Th 积分

?af(x)dx收敛

A??? ???0 , ?A , ? A?,A???A, ? ?f(x)dx ??.

A?⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.

绝对收敛 ? 收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法:

非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有F(A)↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.

⑴ 比较判敛法: 设在区间 [ a , ?? )上函数f(x)和g(x)非负且

f(x)?g(x)，又对任何A>a, f(x)和g(x)在区间 [ a , A ]上可积 . 则

?????????g < ??, ? ?aaf< ??；

?af???, ?

?ga???. ( 证 )

??例4 判断积分

?0sin(1?x)5?x22dx的敛散性.

比较原则的极限形式 : 设在区间 [ a , ?? )上函数

fgg?0 , f?0,limx????c.

则

????ⅰ> 0< c < ??, ?

???af 与

???g 共敛散 :

aⅱ> c?0, ?

?g < ??时, ?aaf< ??；