导数的概念及运算限时练习-北师大版高考理科数学一轮复习训练

限时训练14

导数的概念及运算 建议用时：45分钟

一、选择题

1．函数y＝ln(2x＋1)的导数是( ) A.C.

1

2x＋1

2

2

B.D.

4x 2

2x＋1

4

2x＋1log2e

2

4x

2x＋1ln 10

2

14xB [y′＝2·4x＝2，故选B.]

2x＋12x＋1

2．(2019·成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln

x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝( )

A．1 C．－e

B．－1 D．－e

－1

11

D [由已知得f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋，则f′(e)

xe1

＝－.

e

故选D.]

132

3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t－3t＋8t，那么速度

3为零的时刻是( )

A．1秒末 C．4秒末

2

B．1秒末和2秒末 D．2秒末和4秒末

D [∵s′(t)＝t－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]

4．(2019·贵阳模拟)曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线方程为( ) A．y＝2x－e C．y＝2x＋e

B．y＝－2x－e D．y＝－x－1

A [对y＝xln x求导可得y′＝ln x＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为ln e＋1＝2，因此切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故选A.]

5．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝( )

1

1

A. 21

C. e

B.

1 2e

1D.2 e

1

C [设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝知切线方程为y－ln x0

x1??a＝，1xx0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1.由题意可知?

x0x0

??ln x0－1＝0，

二、填空题

1

解得a＝.故选C.]

e

6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．

x－y－2＝0 [根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f(x)

在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.]

7．若曲线f(x)＝ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 1122(－∞，0) [由题意，可知f′(x)＝3ax＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax＋

3

xx1

＝0，即a＝－3(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]

3x8．设函数f(x)＝x＋ax，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为______．

(1，－1)或(－1,1) [由题意知，f′(x)＝3x＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x0＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且

??3x0＋2ax0＝－1，?32??x0＋x0＋ax0＝0，

2

2

2

3

2

??x0＝1，

所以当?

??a＝－2??x0＝－1，当?

?a＝2?

??x0＝－1，解得?

??a＝2

??x0＝1，

或???a＝－2，

时，点P的坐标为(1，－1)；

时，点P的坐标为(－1,1)．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝x－4x＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． [解] (1)∵f′(x)＝3x－8x＋5，∴f′(2)＝1，

23

2

2

又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0.

(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x0－4x0＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x0－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x0－8x0＋5)(x－2)， 又切线过点P(x0，x0－4x0＋5x0－4)，

∴x0－4x0＋5x0－2＝(3x0－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)(x0－1)＝0， 解得x0＝2或1，

∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0. 132

10．已知函数f(x)＝x－2x＋3x(x∈R)的图像为曲线C.

3(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

[解] (1)由题意得f′(x)＝x－4x＋3， 则f′(x)＝(x－2)－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，

2

2

3

2

2

2

3

2

2

2

3

2

k≥－1，???1

－≥－1，??k

解得－1≤k＜0或k≥1，

故由－1≤x－4x＋3＜0或x－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．

1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x＋(a－1)x＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )

A．y＝－2x C．y＝2x

3

2

3

2

2

2

B．y＝－x D．y＝x

D [因为函数f(x)＝x＋(a－1)x＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

所以(－x)＋(a－1)(－x)＋a(－x)＝－[x＋(a－1)x＋ax]，所以2(a－1)x＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x＋x，所以f′(x)＝3x＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线

3

3

2

3

2

3

2

2