习题5
5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：
2mg?T2?2ma┄①
T1?mg?ma┄②
(T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④
2Ta?r? ，J?mr/2┄⑤
联立，解得：a?14g，T?118mg 。
5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：??ml，在杆上取
一小质元dm??dx，有微元摩擦力： df??dmg???gdx， 微元摩擦力矩：dM???gxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩：
lM?2???gxdx?2014?mgl；
td?，有：??Mdt?0dt（2）根据转动定律M?J??J?14??00Jd?，
?mglt??112ml?0，∴t?2?0l3?g。
112ml，
2或利用：?Mt?J??J?0，考虑到??0，J?有：t?
?0l3?g。
5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为
R ,其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，
下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：
mg?T?ma┄①
TR?J?┄② a?R? ，J?12mR┄③ 2mgM?2mv02联立，解得：a?考虑到a?dvdt，T?t0Mmg，∴?dv??M?2m2mg2mgtdt，有：v?。
M?2mM?2m，
5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J?MR2/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ 解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 Mg?T1?MaA人
T2?M4g?M4aB物
T1R?T2R?J?滑轮
由约束方程: aA?aB?R?和J?MR/4,解上述方程组 得到a?解二：
选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重
g22.
物上升的速度，注意到u为匀速，
dudt?0，系统对轴的角动量为：
L?14MvR?M(u?v)R?((人)14M4R)??232MvR?MuR
(B物体)(A物体)34MgR， ddt(32MvR?MuR)，∴a?而力矩为：M???MgR?MgR?dLdt根据角动量定理M?有：
34MgR?g2。
5-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解：设球的半径为R，总重量为m，体密度??3m4?R3，
考虑均质球体内一个微元：dm??r2sin?drd?d?， 由定义：考虑微元到轴的距离为rsin?
J??(rsin?)dm，有：
2J????002??R0(rsin?)2??r2sin?drd?d?
R0?2???15r5?[??(1?cos?)dcos?]?0?225mR。
2
5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k?40N/m，当??0时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？
解：以图示下方的三角桩为轴，从??0~??90时， 考虑机械能守恒，那么： ??0时的机械能为：
1122(重力势能)?（ml）?(转动动能)， 223120??90时的机械能为：kx
2mg?l0有：mg?111222?（ml）??kx 2232l根据几何关系：(x?0.5)2?1.52?12，得：??3.28rad?s?1
5-7．如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，
下降过程机械能守恒， 有：mgR?∴??4g3R12J? ，而J?212mR?mR?2232mR
2 vc?R??4Rg3
vA?2R??16Rg 32（重力）?mR?（向心力）? （2）Fy?mg7mg，方向向上。 3
5-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和
3123l．轻杆原来
静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以
1212v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 23232ll22)??2m?()? 33v0l
解：根据角动量守恒，有：
mv0?2349l??m?2v0?l?m(v0l?有：(l?∴??
293v0l)??2132l
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