高中课件教案说课计划 (5)

高中课件教案说课计划 (5)

第十六讲 第一部分

我们今天开始来讲不等式这一讲,相信有的学校有的同学已经在之前已经学习过一些了,而且我们从小学开始到初中,不等式的内容大家一直都在学,甚至我们在解决很多问题的时候,也在不自觉的使用不等式当中的一些基本工具.比如说我们在高一的时候解决相关单调性的时候,其实就用了很多不等式的知识,对吧?我们在做单调性的时候是不是要作差然后因式分解大于0小于0的问题。其实我们已经用到了很多的不等式，而且我们在初中的时候已经学过了基本的一元一次不等式，包括这个二元一次不等式组怎么去处理。我们在学二次函数的时候，也大致地去处理了一下二次不等式到底是怎么一回事，对不对？一元二次不等式到底怎么去解决，所以不等式这玩意儿呢，其实说白了，我们之前已经学习了很多很多相关的东西。那为什么现在还要来讲不等式这个东西呢？它大概有这样几个作用：第一个作用是从原理上也就是我们为什么可以这样去做的道理重新把它书写一遍，并且利用书写的这个过程让我们去知道在很多不等式的问题处理当中，我们可以怎样按照我们的基本原则去处理。这样，我们能处理的不等式就不仅限于我们之前会的那些不等式，什么一元一次不等式，一元二次不等式，二元一次不等式组啊那些具体的形式，我们可以把不等式的很多想法延伸开来，这是我们学不等式的第一个用途，那么第二个用途呢，就在于我们能够去掌握更多的一些不等式，比如说，我们会掌握一些简单的均值不等式，那么有了更多不等式作为功底，那我们将来去学习很多新的东西的时候，可能对我们帮助更加大一些。这是我们为什么要把不等式再回过头来在讲一遍，就是说我们一方面对之前的进行一些总结，得到一般性的规律，第二我们再学习一些新的工具，这就是我们这一讲的主要意义，好吧。

不等式关系其实说白了，其实是一个序的关系。是我们定义在数当中的一个序关系，什么叫做序关系呢？就是，我们再数当中有各种各样的关系，比如相等是不是一个数关系，比如在平面中，我们的直线有平行，这是不是也是关系？相交是不是也是关系？它代表两种元素可能会具有的某种意义上的关系，那么序关系，一般在数学当中。你们在数学当中学到的不等关系其实是集合定义当中的一种偏序关系，不过在这里呢，我们不打算对这件事情过多的去说，我们知道，

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实数集当中的所有数按照这样的一个不等关系，可以进行一个所有数的排序，是不是应该这样的？是对所有数进行的这样的一个排序吧！但是，这个我必须申明，不是所有数都有这个排序关系的，我们将来要再高二学到的复数的集合，它们把实数当中的序关系就泯灭掉了，换言之，如果我们把数这个集合进一步地扩大到复数集以后你会发现它就不存在序关系了，这个的那个我们高二讲到复数的时候我们再来说，那么实数集当中建立的序关系，我们在初一的这个时候作的一个最简单的关系，为什么我们说，3是小于5的？为什么我们说-1是小于0的？我们在初中学习的序关系的时候用了一个最简单最直观的方法是什么？用的是什么？用的是数轴作的序关系的定义。还记得初中讲的什么么？数轴的三要素，缺一就不是数轴了。缺少原点也可以是数轴，我告诉大家，其实这也可以叫数轴。只不过在初中这个角度，你不承认，你说在这里有哪个点你是表示不出来的？这是缺原点的，缺正方向也行，你这样写完了以后你是不是知道哪边是正方向了？是这么回事吧？缺单位长度的其实也行，是不是一回事？其实说白了，在数轴上我们只需要标出两个数我们就可以确定数轴了，能理解吧？其实理论上，任意一个数轴，你只要标出两个数，整个数轴是不是就被你确定下来了？是这么回事吧？其实说白了就是这样！我只是跟大家简单说一下，那些个定义框框架架只在我们的初中阶段需要去注意，你在数轴上标一个数当然不行。好，那数轴上定义的基本序关系是什么？什么东西叫做大于？来，大家告诉我。数轴上我们约定，越往右边的数是不是就应该越大？是这么回事吧？是不是越往右的数就越大，按照正方向，越往右这个数就越大。那么我们有了最基本的不等关系，叫做“＜”“＞”。＜的反过来就表示＞，所以说你们会觉得不等式的第一个性质会非常的恶搞。就是①如果，那么，大家有没有觉得这是一个无敌于天下的性质？！但是如果不借助数轴，你能证明它么？不等式的性质我才刚开始说第一条，你觉得还有不等式性质这个东西么？所以说大家一定要注意啊，当我们看到这个东西的时候，你脑子有时候可以反过来想一想，哎，为什么会有这个东西存在！是这么回事吧，那如果我们没有规定数轴的序关系的话，包括连这个东西都没有办法说清楚，是这样的吧，能理解吧？好，第二条最基本的东西，叫做不等号的同向传递性，这意味着，如果，我们就能推出，这个我们叫做不等号的同向传递，大于号小于号都能产生这样的传递性，是不是应该这样的？那么，那么a和c之间

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的大小关系你可说不清楚，是这么回事儿吧？！但是，这个形式能给我们一个非常重要的启示，就是我们在不等式的证明当中，经常会使用一个方法叫放缩法，它的一个重要的作用就在于如果你发现你要比较a和c，而你在a和c之间很难建立起一个关系的时候，你可以尝试去找一个中间量b，是这么回事儿吧？好，我们来举个例子.

例1:比较和的大小。

我们试图去比较这两个数的大小的时候，有没有想过？那么我们发现这两个数之间，底数又不相等，指数也不相等，是不是这样的？它们俩都不相等，当你去比较这两个数的时候，你发现其实挺难比较的，是吧？于是我们可以构造出一个什么样的数出来？比如说我们可以构造一个出来，它和这个数是可以比较的，它和这个数怎么比较？，哎其实你发现，它和它的比较其实是一个，其实比较的是，是这么回事吧？我们知道是单调增还是单调减的？我们知道是单调减的，所以这个数和这个数谁大？显然次方的这个要大一些，那这个和这个比较的时候是在比较什么？我们比较的是它们的指数相同，我们比较的是这个函数，是不是应该这样的？那么这个函数是单调增还是单调减的？在大于0的时候，幂函数在＞0的时候，幂函数在0到的时候是单调增的，哦那我们得到这个是小于这个的。是这么一回事儿吧，从而我们可以比较这个东西和这个东西，这其实就是我们，说白了，就是我们怎样使用我们不等式这样的一个性质，它的传递性我们可以在这个地方得到使用，所以我们去看每一个性质的时候，你不要觉得太容易，很多时候，你是看到这个性质非常简单，但是你怎么把他用好真的是没你想的那么简单，能明白我的意思吧？所以这是说的我们的第二条性质，当你发现a和c的关系没有那么明显的表现出来的时候，你能都去构造一个b，它的难点在于你能否构造出来这样一个b，使他能够成为a和c之间的一个桥梁，好，这是我们的第二个性质，那下面我们显然学过不等式若干性质当中，来。不等式和运算结合在一起的时候，性质怎样体现出来？大家还记得么？第一条最基本的性质是什么？不等式如果，不等式两边加上或减去同一个数，不等号的方向应该不变，是不是应该这样的？那么我们可以得到，，是不是应该这样的？好。这个性质给我们什么样的作用呢？第一个，它告诉我们为什么不等式左右两边是可以移项的，能理解我这句话的意思么？它告诉我们为什么它是可以移项的。这个东西其实它

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是移项的原则，因为如果你想把右边的一项移到左边，比如说，3＜5，你想求证4＜6，你只要把两边同时加1是不是就可以得到了？你如果知道了，如果你想证明，是不是就应该两边同时加1，是不是这样的？到那时我们看操作好像是把+1移到左边变成-1，这就是方程的移项对不对？这是依赖于这个性质的。当然，它对我们起的第二个作用是什么呢？就是我可以引导出一个不等式的证明方法，叫做什么，，可以引导出什么？等价于＜0，这个做法我们称之为作差法。是不是等价于＜0？想一下我们在什么时候用这个是用的最多的？比如说我们在证明函数单调性的时候是不是用到了这个？我们是不是证明，那么我们只要证明＜0就行了。哎，是不是之前我们都是这样处理的？没问题吧？它的第三个简单的推论，就是如果，那么我们就有，是不是应该这样的？两个小的数加在一起当然小于两个大的数加在一起。怎么证明？如何证明？那么这个的证明过程呢没有你们想象的那么复杂。你们注意这是两个不等式想构成的一个不等关系，那么由于,我们自然可以得到，这个没问题吧？我们由，获得的，这应该没问题吧？是不是都用的这些不等式的性质？然后再用不等式的性质解，然后再用不等式的性质2也就是不等号的传递性，是不是可以链接和这两者？是这么一回事儿吧？这和我们上节课学算法一样，把你每个思维落到最细致的地方，把它的每一个环节都想清楚了，不要在任何一个环节处，哎呀，就这样了。因为不等式这里最容易出现的就是循环论证，就是拿一个本身要证明的东西再证明，这是最容易出问题的循环论证，还有一个最容易出现的，这个显然啊，为什么显然啊？那就没有那么显然了。显然啊，这个结论可以推广到若干个数，是这么回事儿把？那比如我们看一下这个题目.

例2:已知， ，求在什么范围内？

你会怎么去处理？都觉得很简单吧？没有什么复杂的啊。确实这个东西也不算复杂啊，好，我们先来看一种第一个错误的方法，咦，拿这个式子减去这个式子，，对不对？胡扯淡，然后，同向可以相加可不可以相减？这就是原则上的错误，，是不是可以说？如果可以减，有没有这个结论存在？这显然扯淡。不论它大不大于0，这后面一句话都是错的。是这么回事儿吧？两个都小于c，你凭什么认为它们两个的差小于c，你为什么拿它减它，而不是它减它？是不是应该这样的？所以从这个角度出发，这显然是错误的。那你如果说这个做法是正确的，

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那我拿上面这个减下面这个。那是不是？是不是应该得到这么一个东西？一个数怎么可能大于-1还要小于-3？！你既然能这么减，是不是应该可以这么减？所以这个时候这是我们最容易犯的第一个错误，就是直接拿着两个式子开始减，我已经看到有同学试图用这个方法来做，我们说不等式是可以同号相加的，没有说过不等号可以同向相减的对吧？第二个，我们看到有的同学开始这么说了。，诶，这个没错吧？恩，这个没问题，因为他乘了个2，是不是应该这样的？这个没问题吧？他总觉得和有个b搞不出来了，是不是这样的？但是它又不敢减，那怎么办呢？那既然的，这个没问题吧？我把这个改一改，把这个式子乘以一个负号，，这个对不对？这个是对的吧。这个一点问题都没有吧？你把两个式子一加，诶？加总可以让我加吧？减你不让我减，加总可以让我加吧？！能理解他的意思吧？加了之后得到什么？，他觉得，诶这个事儿能靠谱了。非常靠谱，我再看看能不能把a解出来，a呢，也可以解出来，你把上面这个乘3，，下面这个乘2,的，诶，我们沿用上面的办法，的，诶，是这么回事儿吧？！然后把两个式子一加，加完了然后得到，因此我们得到一个结果，，这个对吗？这个为什么范围就扩大了？有没有人能想清楚为什么它的范围扩大了？这个不是因为你加了多少次导致的。为什么范围扩大了，你就直接感觉到它的范围扩大了。还是你觉得中间哪个地方出了问题。注意，我希望你们能把你们脑子里感觉到的东西清晰的表现出来，就你不要总觉得这个肯定不对，为什么不对？反正不对…我问为什么扩大了，你管我为什么啊。这个不行，你能不能告诉我这个过程中到底哪个地方扩大了。或者为什么你认为这个结果扩大了！我举个狠简单的例子，最后一步错了？？这两个算对了没问题是吧。那为什么这个就算错了呢？为什么它就错了呢！所以到这一步我们的操作步骤都是规范的！但是为什么我们这个范围扩大了呢？我们的直觉感觉没有那么大。好像他们不能同时满足这个结果，和不能这么大是吧？这个a能够小于11只是它理论上能够取得的最大，是这么回事儿吧？当a接近11的时候b是不是得非常小才行？在这个问题当中。A非常接近11，b得非常小是吧？也就是说a在取到11附近的时候，b肯定取不到2附近，是不是应该这样的？其实这两个式子对这两个数的约束是不是更强一些？它不能通过两个自由的a和b来考虑，比如说你看两个人合不合适，你看这两个人在一块后，发现他们两个不是那么和谐，这个世界上无数的分分合合都像这样。这个问题麻烦就在

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