高等数学部分易混淆概念

高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限

一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确．

若xn?yn(n?N)，且序列xn,yn的极限存在，limxnn???A,limyn?B,则A?B

n??解答：不正确．在题设下只能保证例2．选择题

设xn?zn?yn，且lim(ynn??11，xn?yn,?n，而limxn?limyn?0． A?B，不能保证A?B．例如：xn?,yn?n??n??nn?1n???xn)?0,则limzn（ ）

A．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C正确 分析：若limxnn???limyn?a?0，由夹逼定理可得limzn?a?0，故不选A与D.

n??n?? 取xnC．

11?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，则xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0，但limzn 不存在，所以B选项不正确，因此选

n??n??nn例3．设xn?a?yn,且lim(yn?xn)?0,则{xn}与{yn}（ ）

n?? A．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于aC．可能收敛，也可能发散 D. 都发散答：选项A正确． 分析：由于xn?a?yn,，得0?a?xn?yn?xn，又由lim(ynn???xn)?0及夹逼定理得lim(a?xn)?0

n?? 因此，limxnn???a，再利用lim(yn?xn)?0得limyn?a．所以选项A．

n??n??二、无界与无穷大

无界：设函数则称函数

f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得f(x)?M?x?X?D

f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任何正数M，总存在x1?X，使

f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总

，对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)?M x?x0??（或x?X）

f(x1)?M，那么函数f(x)在X上无界．

无穷大：设函数

存在正数?（或正数X），只要x适合不等式0?则称函数

f(x)为当x?x0（或x??）时的无穷大．

x?x0例4：下列叙述正确的是： ②

① 如果f(x)在x0某邻域内无界，则limf(x)?? ② 如果limf(x)??，则

x?x0f(x)在x0某邻域内无界

解析：举反例说明．设

11f(x)?sinxx，令

xn?12n???2,yn?1时，xn?0y,n?,，当n???n?，而0n???limfxn(?)n???ln?i?m(?2?? lim)f(yn)?0故f(x)在x?0邻域无界，但x?0时f(x)不是无穷大量，则①不正确．

n???2? 由定义，无穷大必无界，故②正确结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．

三、函数极限不存在?极限是无穷大

当x?x0（或x??）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．

?x?1?例5：函数f(x)??0?x?1?x?x0x?0x?0x?0x?x0，当x?0时f(x)的极限不存在．

四、如果limf(x)?0不能推出lim例6：f(x)??1?? f(x)x为有理数11imf()x0?，但由于，则l在x?0的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论在x?0的x?x0f(x)f(x)x为无理数11??．反之，f(x)为无穷大，则极限．结论：如果limf(x)?0，且f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)?0，则lim为

x?x0x?x0f(x)f(x)无穷小。

五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。 例7．求极限limex??x?x?0x,limex?01x

xx解：

x???lime???,lime?0，因而x??时ex???极限不存在。

x?0?lime?0,lime???，因而x?0时ex?0?1x1x1x极限不存在。

六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换

1?x?1?x?2 x?0x2分析一：若将1?x?1?x?2写成(1?x?1)?(1?x?1)，再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二：用泰勒公式

例8：求极限lim11(?)122x2??(x2))1?x?1?x?(1?x?22!111?x2??(x2)(?)11??。 ?(1?x?22x2??(x2))?2 原式?42x422!1??x2??(x2)4sinxsinxsin?例9：求极限lim解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1。lim??0

x??x??xx?七、函数连续性的判断 （1）设

f(x)在x?x0间断，g(x)在x?x0连续，则f(x)?g(x)在x?x0间断。而f(x)?g(x),f2(x),f(x)在x?x0可能连续。

例10．设

?0f(x)???1?1若设f(x)????1（2）“

x?0，g(x)?sinx，则f(x)在x?0间断，g(x)在x?0连续，f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0在x?0连续。 x?0x?02，f(x)在x?0间断，但f(x)?f(x)?1在x?0均连续。 x?0f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件。

x?x0分析：由“若limf(x)?a，则lim续，则

x?x0f(x)?a”可得“如果limf(x)?f(x0)，则limf(x)?f(x0)”，因此，f(x)在x0点连

x?x0x?x0f(x)在x0点连续。再由例10可得，f(x)在x0点连续并不能推出f(x)在x0点连续。

（3）?(x)在x?x0连续，f(u)在u?u0??(x0)连续，则f(?(x))在x?x0连续。其余结论均不一定成立。

第二章 导数与微分

一、函数可导性与连续性的关系 导必连续，连续不一定可导。

例11．二、f(x)?x在x?0连读，在x?0处不可导。

f(x)在x?x0连续，则f(x)在x?x0可导是f(x)在x?x0可导的充要条件。

f(x)与f(x)可导性的关系 （1）设f(x0)?0，

（2）设f(x0)?0，则f?(x0)?0是f(x)在x?x0可导的充要条件。

三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论 设F(x)?g(x)?(x)，?(x)在x?a连续，但不可导，又g?(a)存在，则g(a)?0是F(x)在x?a可导的充要条件。

分析：若g(a)?0，由定义

F(x)?F(a)g(x)?(x)?g(a)?(a)g(x)?g(a)?lim?lim?(x)?g?(a)?(a)

x?ax?ax?ax?ax?ax?aF(x)g(a)?0。用反证法，假设g(a)?0，则由商的求导法则知?(x)?在x?a可导，与假设矛盾。

g(x)F?(a)?lim利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。 四、在某点存在左右导数时原函数的性质

（1）设f(x)在x?x0处存在左、右导数，若相等则f(x)在x?x0处可导；若不等，则

x?x0?x?x0?反之，若F?(a)存在，则必有

f(x)在x?x0连续。

（2）如果f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b)，且设limf?(x)?limf?(x)?m,则f(x)在x?x0处必可导且f?(x0)?m。

若没有如果例11．

f(x)在(a,b)内连续的条件，即设limf?(x)?limf?(x)?a，则得不到任何结论。

x?x0?x?x0?x?0?x?2，显然设limf?(x)?limf?(x)?1，但limf(x)?2，limf(x)?0，因此极限limf(x)不存f(x)??x?0?x?0?x?0?x?0?x?0xx?0?在，从而f(x)在x?0处不连续不可导。

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、若

若

x???limf?(x)?A,(A?0,可以取?）, 则limf(x)??

x???x???limf?(x)?A?0，不妨设A?0，则?X?0,x?X时，f?(x)?A，再由微分中值定理 2f(x)?f(X)?f?(?)(x?X)(x?X,??(X,x))

?f(x)?f(X)?同理，当A?0时，

若

x???x???A(x?X)2limf(x)???

(x?X)?limf(x)???

x???limf?(x)???,??X?0,x?X时，f?(x)?1，再由微分中值定理

f(x)?f(X)?f?(?)(x?X)(x?X,??(X,x))

?同理可证1.??x???f(x)?f(X)?(x?X)x???(x?X)?limf(x)???

x???limf?(x)???时，必有limf(x)???8.1多元函数的基本概念

第八章 多元函数微分法及其应用

?0,??1,?2?0,使得当x?x0??1,y?y0??2且(x,y)?(x0,y0)时,有f(x,y)?A??,那么limf(x,y)?A成立了?

x?x0y?y0成立,与原来的极限差异只是描述动点邻域,事实上这两种定义是等价的.

p(x,y)与定点p0(x0,y0)的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆

f(x,y)就在(x0,y0)连续吗?为什么?

有定义,并且

x?x0y?y02. 若上题条件中(x,y)?(x0,y0)的条件略去,函数 如果

条件没有,说明f(x0,y0(x,y)?(x)0,y0)(x0,y0)包含在该点的任何邻域内,由此对???0,都有

f(x,y)?A??,从而A?f(x0,y0),因此我们得到limf(x,y)?A?f(x0,y0),即函数在(x0,y0)点连续.

3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么?不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.

8.2 偏导数 1. 已知

f(x?y,ey)?x2y,求f(x,y)

令x?或者

?y?lnv22y?u,ey?v那么解出x,y得?,所以f(u,v)?x(u,v).y(u,v)?(u?lnv).lnv

?x?u?lnvf(u,v)?(u?lnv)2.lny

fx?, fy?连续?Z可微? Z?f(x,y)连续? f(x,y)极限存在 2偏导数fx?, fy?连续?偏导数fx?, fy?存在

8.3全微分极其应用

1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 1偏导数

?xy(x,y)?(x0,y0)?3222. 判断二元函数f(x,y)??x?y在原点处是否可微.

?0(x,y)?(x0,y0)?对于函数f(x,y),先计算两个偏导数:

f(?x,0)?f(0,0)0?0fx?(0,0)?lim?lim?0

?x?0?x?0?x?xf(0,?y)?f(0,0)0?0fy?(0,0)?lim?lim?0

?x?0?x?0?y?y又

x?x0y?y0limf(?x,?y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y(?x)?(?y)22?lim?x?y22??(?x)?(?y)??56x?x0y?y0

令?y?k?x,则上式为limk(?x)2(1?k)?x52653?x?0?k(1?k)5?x?026lim?x?0

13因而

f(x,y)在原点处可微.

8.4多元复合函数的求导法则 1. 设zxy),f可微,求dz. x?yxyxyxy(x?y)d(xy)?xyd(x?y)dz?f?()d()?f?()x?yx?yx?y(x?y)2?f(?f?(xyyxyy?)dx?f()dyx?y(x?y)2x?y(x?y)222

8.5隐函数的求导

1. 设x?x(y,z),y?y(x,z),z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0所确定的具有连续偏导数的函数,证明

对于方程

?x?y?z..??1. ?y?z?xF(x,y,z)?0,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且Fx??0,则由方程F(x,y,z)?0可以确定函数

Fy??xFz??x,??x?x(y,z),即x是y,z的函数,而y,z是自变量,此时具有偏导数???yFx?Fx??zFz??y同理, ???zFy?1.设

,所以

?x?y?z..??1. ?y?z?x8.6多元函数的极值及其求法

f(x,y)在点p0(x0,y0)处具有偏导数,若fx?(x,y)?0,fy?(x,y)?0则函数f(x,y)在该点取得极值,命题是否正确?

不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.

2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？

不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。 例如，二元函数Z?f(x,y)?3x2?3y2?x3，(x2?y2?16)

由二元函数极值判别法：

?z?6x?3x2?0，解得 x1?0，x2?2， ?x?z?6y?0， 解得 y?0 ?y故得驻点M1?(0,0)，M2?(2,0)

?2z?2z?2zA?2?6?6x，B??0， C?2?6

?x?x?y?yAC?B2?36(1?x)

由于 以及

AC?B2(0,0)?0，AC?B2(2,0)?0，

A(0,0)?0，所以M1?(0,0)，是函数的惟一极小值点，但是f(4,0)??16?f(0,0)，故f(0,0)不是f(x,y)在D上的

最小值. 第十一章无穷级数

11.1常数项级数的概念和性质

1?2n?1n(?1)n21un??nnn?1??1. 若通项an?0，则级数

?n?1?ann收敛，这种说法是否正确？否2. 若级数

?an?1?n加括号后所成的新级数发散，则原级数必

an11?(an?2)n2n定发散，而加括号后所的级数收敛，则无法判定原级数的敛散性，这种说法是否正确？正确

11.2常数项级数的审敛法

(?1)n1. 若级数?un收敛，则级数?un一定收敛。判断这句话是否正确？不正确，如?nn?1n?1n?1??an2. 若正项级数?an收敛，判断级数?的敛散性。

nn?1n?1??2?，un2?1 n 收敛 因为??an111?(an?2)，由于?an收敛，?2n2nn?1n?1n收敛，于是

?n?1?ann收敛。

3. 收敛则一定绝对收敛，绝对收敛不一定收敛。