[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 C．0.7
B．0.6 D．0.8
解析：选C.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：
70
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
1002．(2019·福建漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )
1A. 51C. 4
1B. 31D. 6
解析：选B.由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因为所有的限制条件对丙 、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以1
丙是第一名的概率是.故选B.
3
3．(2019·河南郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
1A. 103C. 10
1B. 52D. 5
解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A55＝120种不同的取法，若活动恰好在
11
第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A23A2A1
363
＝36种取法，所以P＝＝.故选C.
12010
x2y2
4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C：2－2＝1 (a＞0，b＞0)，其中a∈{1，2，3，4}，b
ab∈{1，2，3，4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为( )
1A. 41C. 2
3B. 85D. 8
b
解析：选B.直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则>1，总基本事件数
a为4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，3
共6个，故概率为.
8
5．(2019·武汉市调研测试)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )
1A. 121C. 3
1B. 21D. 6
解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分
3
配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有C2若小明必分配4A3＝36(种)分配方法，212到甲村小学，有C2根据古典概型的概率计算公式得所求的概率3A2＋C3A2＝12(种)分配方法，
121
为＝，故选C. 363
6．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97＋20×0.98＋10×0.99
＝0.98.
10＋20＋10
答案：0.98
7．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________．
解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C79＝36种，从(1，9)，(2，418)，(3，7)，(4，6)中任选3组，有C3＝. 4＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为369
1
答案： 9
8．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213，134)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________．
解析：从1，2，3，4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A34＝24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1，2，3或1，3，4，所以共组成2A33＝12个“好数”，121故所求概率为＝.
242
1答案： 2
9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 130 2 000 100 3 000 150 4 000 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
150120
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
1 0001 000
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×12024
＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计
100概率得P(C)＝0.24.
1
10．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.
2(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率． b
解：(1)由题意－≥－1，即b≤a.
12×a2
31
而(a，b)共有C12·C2＝4种，满足b≤a的有3种，故概率为. 4
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．
因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率1为. 6
[综合题组练]
1．(2019·泉州模拟)已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为( )
1A. 21C. 4
1B. 31D. 6
解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，
现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张， 基本事件总数n＝A33＝6，
11恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝C13C1C1＝3，
m31
所以恰有一人取到自己身份证的概率为p＝＝＝.故选A.
n62
2．(2019·河南开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
1A. 73C. 7
2B. 74D. 7
解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A77＝5 040(种)．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A44.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A35，则
3最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有A44A5＝1 440(种)，所以其最近的行走路线中
1 4402不连续向上攀登的概率P＝＝.故选B.
5 0407
3．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________．
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