第十一讲 一元二次函数（一）
【要点归纳】
1、形如y?ax?bx?c(a?0)的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。 2、二次函数的解析式的三种形式： 10 一般式 y?ax?bx?c(a?0)
20 顶点式 y?a(x?m)?n(a?0)，其中顶点为（m，n）
30 零点式 y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，其中x1，x2是ax2?bx?c?0的两根。 本讲主要解决求二次函数的解析式问题。 【典例分析】
例1 二次函数f(x)满足：f?x??f?3??10，并且它的图象在x轴截得的线段长等于4，求f(x)的解析式。
例2 二次函数f(x)满足：f(1)=f(-5)，且图象过点（0，1），被x轴截得的线段长等于22。 求f(x)的解析式。
例3 二次函数f(x)满足：f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。 （1）求f(x)的解析式；
（2）当-1≤x≤1时，y=f(x)的图象总是在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围。
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例4 若方程|x?4x?3|?x?4a有且仅有三个实数根，求实数a的值。
例5 设f(x)?3ax?2bx?c，若a?b?c?0，f(0)f(1)?0， （1）求证：a?0且方程f(x)?0有两个不同的实数根x1，x2； （2）求
22b及|x1?x2|的取值范围。 a1例6 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足：0?x1?x2?
a（1）当0 (2)设函数的图象f(x)关于直线x?x0对称，证明x0? x1. 2 【反馈练习】 1、若二次函数f(x)的图象过点（3，4），（1，0），（-2，0），则f(x)=______________ 2、若二次函数f(x)的图象过点（1，1），并且f?x??f?3???7，则f(x)=_____________ 3、关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________ 4、若二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，则f(x)=______________ 5、设二次函数f(x)的图象与x轴两交点的距离为2，若将图象沿y轴方向向上平移3个单位，则图象恰好过原点，且与x轴两交点的距离为4，求f(x)的解析式。 6、二次函数f(x)=ax2+bx+c与一次函数g(x)=-bx，其中a>b>c，且a+b+c=0 （1）求证：两函数的图象交于不同的两点A（x1,y1）B(x2,y2)； （2）求|x1?x2|的取值范围。 7、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足：x2?x1?证明：当0 1 a 8、对于函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点。已知二次函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1) (1) 当a=1,b= –2时，求函数f(x)的不动点； (2) 若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； (3) 在(2)的条件下，若y=f(x)图上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+ 12a2?1对称，求b的最小值（本小问选做） 第十一讲 一元二次函数（一） 【典例分析】 例1 、f(x)??例2、f(x)?5，或“零点式” (x?1)(x?5) 设“顶点式” 212，或“零点式” x?2x?1 设“一般式”或“顶点式” 22例3、（1）f(x)?x?x?1 （2）m<-1 例4、数形结合 a?33或 41632b?|x1?x2|? ??1；33a例5、（1）略 （2）?2?例6、（略） 【反馈练习】 2224x?x? 2、f(x)?2(x?3)2?7 55513、a=1 4、f(x)??4(x?)2?8 21、f(x)?5、f(x)??x?4x?3或f(x)?x?4x?3 6、（1）略 （2）(3,23) 7、略 8、（1）－１，3 （2） 0?a?1 （3） 222a，提示：b??(0?a?1) 41?2a2
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