第1讲 数列、等差数列与等比数列(小题)
热点一 等差数列、等比数列的基本运算 1．等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) 等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列的通项公式：an＝a1·qn1. 等差数列的求和公式：Sn＝
n?a1＋an?n?n－1?
＝na1＋d； 22
n
－
a1?1－q?a1－anq??＝，q≠1，
1－q等比数列的求和公式：Sn＝?1－q
??na1，q＝1.2．等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．
例1 (1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n的值为________．
(2)(2019·咸阳模拟)正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得am·an＝2a1，且a6＝a5＋2a4，19
则＋的最小值是________． mn
跟踪演练1 (1)(2019·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( ) A．2 B．3 C．4 D．6
(2)(2019·吕梁模拟)Sn为等比数列{an}的前n项和，a2＝1，a25＝2a7，则S6等于( ) 6331A．31 B. C．63 D. 22
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的n的最大值为________．
热点二 等差数列、等比数列的性质
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a2k. 2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.
例2 (1)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，则数列{an}的前9项和S9等于( )
A．126 B．130 C．147 D．210
2
(2)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考)已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数
1＋x2列{an}满足a1a2 019＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 019)等于( ) 2 0191
A．2 019 B. C．2 D.
22
(3)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.
－
跟踪演练2 (1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自Sn2na6然数n，都有＝，则等于( )
Tn3n＋1b6292011
A. B. C. D. 3143117
a2 018－a2 016(2)已知等比数列{an}中，a5＝2，a6a8＝8，则等于( )
a2 014－a2 012A．2 B．4 C．6 D．8
(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于( ) A．－510 C．400或－510
B．400 D．30或40
热点三 等差数列、等比数列的综合问题 解决数列的综合问题的失分点
(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；
a1?1－qn?
(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1或q≠1的情况，公式Sn＝只适用于1－qq≠1的情况．
例3 (1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝________.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于( ) A．1 062 B．2 124 C．1 101 D．1 100
跟踪演练3 (1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a2，a4，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前3项和为( ) A．31 B．34 C．62 D．59
(2)(2019·北京房山区期末)Sn为数列{an}的前n项和，其中an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：6的因数有1,2,3,6，则a6＝3；15的因数有1,3,5,15，则a15＝15.那么S30等于( )
A．240 B．309 C．310 D．345 热点四 数列的递推关系
由递推关系式求数列的通项公式常用的方法
(1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；
(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(适用于an＋1＝an·f(n)型)、待定系数法(适用于an＋1＝pan＋q型)求通项公式．
例4 (1)(2019·榆林模拟)已知正项数列{xn}满足xn＋2＝则x2 019＝________.
xn＋1
，n＝1,2,3，…，若x1＝1，x2＝2，xn
(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an(ana1a2an
＋1)，若?a＋1＋a＋1＋…＋a＋1?＝100，则整数n等于( )
?1?2nA．99 B．100 C．101 D．102
跟踪演练4 (1)数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项和为( ) A．－100 B．100 C．－110 D．110
(2)(2019·漳州模拟)已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn＋1＋anbn＋1＝0，则S2 019等于( ) 11
A．2 019 B. C．4 037 D. 2 0194 037
真题体验
1．(2015·全国Ⅰ，文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于( )
1719
A. B. C．10 D．12 22
12．(2015·全国Ⅱ，文，9)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
411
A．2 B．1 C. D. 28
3
3．(2019·全国Ⅰ，文，14)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
4
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