（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共36件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不多于钢笔数的2倍，共有多少种购买方案？请你一一写出．
【分析】（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元，根据“李芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；王平用30元买了同样的钢笔2支和笔记本4本”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买钢笔m支，则购买笔记本（36﹣m）本，根据奖品的总价不超过200元及笔记本数不多于钢笔数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元， 依题意，得：解得：
．
，
答：每支钢笔9元，每本笔记本3元．
（2）设购买钢笔m支，则购买笔记本（36﹣m）本， 依题意，得：解得：12≤m≤15． ∵m为整数，
∴m＝12，13，14，15．
∴共有4种购买方案，方案1：购买12支钢笔，24本笔记本；方案2：购买13支钢笔，23本笔记本；方案3：购买14支钢笔，22本笔记本；方案4：购买15支钢笔，21本笔记本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
30．（10分）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，
，
PB分别与线段CF，AF相交于P，M．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由点D与点A关于点E对称易证AC＝CD，再根据角平分线，及垂直得到AC＝AB，可得答案AB＝CD；
（2）易证∠CAD＝∠CDA＝∠MPC，∠CMA＝∠BMA＝PMF，可得到∠MCD＝∠F． 【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠DAB＝∠BAC， ∵D与A关于E对称， ∴E为AD中点， ∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线， ∴AC＝CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC＝CD） ∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°，∠CAD＝∠DAB， ∴∠ACE＝∠ABE，
∴AC＝AB（注：证全等也可得到AC＝AB）， ∴AB＝CD．
（2）解：∠F＝∠MCD，理由如下： ∵∠BAC＝2∠MPC， 又∵∠BAC＝2∠CAD， ∴∠MPC＝∠CAD， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠MPC＝∠CDA，
∴∠MPF＝∠CDM， ∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE（注：证全等也可得到CE＝BE）， ∴AM为BC的中垂线，
∴CM＝BM．（注：证全等也可得到CM＝BM） ∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．
∴∠CME＝∠BME（注：证全等也可得到∠CME＝∠BME．）， ∵∠BME＝∠PMF， ∴∠PMF＝∠CME，
∴∠MCD＝∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD＝∠F）
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质及线段垂直平分线的性质；解题时需注意充分利用两点关于某条直线对称，对应点的连线被对称轴垂直平分，进而得到相应的线段相等，角相等．
相关推荐：
loading