第2章 质点动力学
2．1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律
任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。
二、牛顿第二定律
物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，
方向与合外力的方向相同。表示为 f?ma 说明:
⑴ 物体同时受几个力f1,f2?fn的作用时，合力f等于这些力的矢量和。
f??fi?f1?f2???fn 力的叠加原理
i?1n⑵ 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式 fx?max，fy?may，fz?maz。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式 ft?mat fn?man
⑷ 动量：物体质量m与运动速度v的乘积，用p表示。 p?mv
动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 f?ma?mdvdp? dtdtdp?0，dp?常量，即物体的动量大小和方向均不改变。dt 当f?0时，
此结论成为质点动量守恒定律。
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三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。 四、国际单位制 量纲 基本量与基本单位 导出量与导出单位 五、常见的力
力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。 按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。 六、牛顿运动定律的应用
用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：
（1） 隔离物体，受力分析。 （2） 建立坐标，列方程。 （3） 求解方程。
（4） 当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
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例题
例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知m1?3kg，m2?2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力FT（重力加速度g取9.80m·s?2）。
解 分别取m1和m2为研究对象，受力分析如上图。利用牛顿第二定律列方程： m2g?FT?m2a FT??m1gsin30o?m1a 绳子张力FT?FT?
代入数据解方程组得加速度a?0.98m·s?2，张力FT?17.64N。
例2-2 如图所示，长度为l的柔软细绳一端固定于天花板上的0点，另一端拴一个质量为m的小球。先使绳保持水平，小球静止，然后小球自由下落。求小球的速率和绳的张力。
l 0 ? m ? T ? v mg
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解：v?ld? dt牛顿方程的切向和法向分量式
v2dv mgcos??mat?m（切向） T?mgsin??man?m（法向）
ldt
把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以ld?dt和v，即
gcos?·ld?dv·v ?dtdt约去dt得 glcos?d??vdv
对上式积分，注意角度从0增大到?的同时，速率从0增大到v，有
?v1 gl?cos?d???vdv， glsin??v2
002 得小球的速率为 v?2glsin?
代入牛顿方程的法向分量式，得绳的张力
v2 T?m?mgsin??3mgsin?
l 可看出,当???2时，即小球运动到最低点时绳子的张力最大。
例2-3 质量为m的小球在水中由静止开始下沉，设水对小球的粘滞阻力与其运动速率成正比，即f??kv，其中k为比例常数，水对小球的浮力为B,求小球在水中任一时刻的沉降速度（设t =0时，v=0）。
f? B m P a 编辑版word
y
解、小球受重力P、粘滞力f?及水的浮力B的作用，取竖直向下为坐标轴正方向。如图所示，根据牛顿第二定律得
P?f??B?ma 即 mg?kv?B?ma?m两边取定积分
tdtdv11? 得 ?[ln(mg?kv?B)?ln(mg?B)]??0mg?kv?B?0mkmvdvdtdv? 或
mg?kv?Bmdt?tmg?B(1?em) 由此求得：v?kk当t??时，v? 2．2
mg?B ------小球的终极速度，匀速下降。 k 动量和动量守恒定律
一、质点和质点系的动量定理
1．冲量和质点动量变化定理
? 冲量：力的时间累积，即力对时间的积分，称为力的冲量。 I??fdt
t1t2? 质点动量变化定理
根据牛顿第二定律，上式可写为 dI?fdt?dp
表明，在dt时间内质点所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增量。
将上式从t1到t2对时间积分，得 I??fdt??dp?p2?p1
t1p1t2p2 表明，质点在一段时间内所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增
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