解得:t=;
(3)设DP交BC于N, ∵AD∥BC, ∴△ADP∽△CNP, ∴∴NC=∴BN=8﹣
=
,
, ,
当BQ∥DP,则四边形BQDN是平行四边形, ∴BN=QD, ∴
=4t,
解得:t1=t2=2,(不合题意,舍去), ∴不存在这样的t.
【点评】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,垂直的定义,证得△ADP∽△CNP是解题的关键.
23.如图,抛物线C1:y=x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为(2,0),将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,C2交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.
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(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标;
(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD,当点D落在抛物线C2的对称轴上时,求抛物线C2的解析式;
(3)若抛物线C2的对称轴存在点P,使△PAC为等边三角形,求m的值.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把(0,0)及(2,0)代入y=x2+bx+c,求出抛物线C1的解析式,即可求出抛物线C1的顶点坐标,
B,C的坐标,(2)先求出C2的解析式,确定A,过点C作CH⊥对称轴DE,垂足为H,利用△PAC为等腰直角三角形,求出角的关系可证得△CHD≌△DEA,再由OC=EH列出方程求解得出m的值,即可得出C2的解析式.
(3)连接BC,BP,由抛物线对称性可知AP=BP,由△PAC为等边三角形,可得AP=BP=CP,∠APC=60°,由C,A,B三点在以点P为圆心,PA为半径的圆上,可得BC=2OC, 利用勾股定理求出OB
OC,列出方程求出m的值即可.
【解答】解:(1)∵抛物线C1经过原点,与X轴的另一个交点为(2,0), ∴
,解得
,
∴抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x, ∴抛物线C1的顶点坐标(1,﹣1), (2)如图1,
∵抛物线C1向右平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,
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∴C2的解析式为y=(x﹣m﹣1)2﹣1,
∴A(m,0),B(m+2,0),C(0,m2+2m), 过点C作CH⊥对称轴DE,垂足为H, ∵△ACD为等腰直角三角形, ∴AD=CD,∠ADC=90°, ∴∠CDH+∠ADE=90° ∴∠HCD=∠ADE, ∵∠DEA=90°, ∴△CHD≌△DEA, ∴AE=HD=1,CH=DE=m+1, ∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2,
由OC=EH得m2+2m=m+2,解得m1=1,m2=﹣2(舍去), ∴抛物线C2的解析式为:y=(x﹣2)2﹣1. (3)如图2,连接BC,BP,
由抛物线对称性可知AP=BP, ∵△PAC为等边三角形, ∴AP=BP=CP,∠APC=60°,
∴C,A,B三点在以点P为圆心,PA为半径的圆上, ∴∠CBO=∠CPA=30°, ∴BC=2OC, ∴由勾股定理得OB=∴
(m2+2m)=m+2,
=
OC,
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解得m1=∴m=
.
,m2=﹣2(舍去),
【点评】本题主要考查了二次函数综合题,解题的关键是正确作出辅助线,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解.
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