图 小车及摆杆受力分析
???小车水平方向的合力：Mx??N （1） F?bxd2?x?lsin??N?mdt2摆杆水平方向的受力进行分析： ??cos??ml??2sin????ml?即可化为：N?mx （2）
由方程（1）和（2）可以得到系统的第一个运动方程：
??cos??ml??2sin??F??bx??ml?x?M?m?? （3）
??摆杆力矩平衡方程：?Plsin??Nlcos??I? （4）
d2?lcos??P?mg?mdt2摆杆垂直方向的合力：
d2?d?P?mg??ml2sin??ml()2cos?dtdt可化为： （5）
由方程（4）和（5）可以得到系统的第二个运动方程：
5
???mglsin???mlx??cos??I?ml?? （6）
2系统的第一个运动方程：
??cos??ml??2sin??F??bx??ml?x?M?m??
系统的第二个运动方程：
???mglsin???mlx??cos??I?ml??
2用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后，两个运动方程如下（其中?2???????I?ml???mgl??mlx????u??bx??ml?x???M?m??
????）
x），得到摆杆角度和小车位移的传递函数： 对上式进行拉普拉斯变换（令a?????s?mls2?X?s??I?ml2?s2?mgl （7）
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
??s?ml?V?s??I?ml2?s2?mgl （8）
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
mls2?(s)q?b(I?ml2)3(M?m)mgl2bmglU(s)4s?s?s?sqqq （9）
222q?[(M?m)(I?ml)?ml]。 其中
6
2.2小车倒立摆实际数学模型的建立
1 倒立摆系统参数
符号 意义 数值 M 小车质量 1.096 m 摆杆质量 0.109 b 摩擦系数 0.1 l 转轴到摆杆质心的长度
0.25 I 摆杆转动惯量 0.0034 x 小车位置坐标 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角
F
施加在小车上的力
把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数：
?(s)0.02725s2X(s)?0.0102125s2?0.26705 （10）
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
?(s)V(s)?0.027250.0102125s2?0.26705 （11）
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
?(s)U(s)?2.35655ss3?0.0883167s2?27.9169s?2.30942 （12）
7
单位 kg kg N/m/sec m kg*m*m m rad rad N
3 开环响应分析
由物理公式可得到小车位移和小车加速度的传递函数：
X(s)1?V(s)s2
当输入为小车加速度时摆杆角度的单位阶跃响应： 已知摆杆角度和小车加速度的传递函数为：在matlab中建立m文件zm1.m 内容如下： m=[0.02725]; n=[0.0102125 0 -0.26705]; t=0:0.1:20; step(m,n,t) axis([0 4 0 100]) 阶跃响应曲线：
?(s)0.02725?V(s)0.0102125s2?0.26705
系统阶跃响应曲线上升的斜率几乎趋近于无穷，且持续上升不能达到稳定状态，因此系统是不稳定的。
当输入为小车加速度时摆杆角度的单位脉冲响应
?(s)0.02725?2V(s)0.0102125s?0.26705 已知传递函数为：
在matlab中建立m文件命名为zm2.m
内容如下： m=[0.02725];
n=[0.0102125 0 -0.26705]; t=0:0.1:20;
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