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n111x2ln?n?1???1???L?，由（Ⅱ）可得ln?x?1?? x?0，?x，
2?n?1?23n2?x?1?令
x?1n，可得
1?11?1ln?n?1??lnn?????2?nn?1?n，进而可证
ln?n?1??n111a?1???L?，即可证Sn?n?1?lnan?1．
2?n?1?23n2an试题解析：（Ⅰ） f?x?的定义域为??1，???， f??x??x2?4x?2?x?1?21分
当?1?x??2?2时， f??x??0，当x??2?2时， f??x??02分
，-2?2上单调递减，在-2?2,??单调递增. 3分 所以函数f?x?在?1x2?ax，则 （Ⅱ）设g?x??2ln?x?1??x?1g??x??x2?4x?2?????x?1?2?x?1??a?22?2?x?1??12?x?1??1??a????1??2?a
?x?1?2?1?因为x≥0，故?1????1??05分
?x?1?（ⅰ）当a?2时， 2?a?0， g??x??0，所以g?x?在0,???单调递减，而g?0??0，所以对所有的x≥0， g?x?≤0，即f?x?≤ax； （ⅱ）当1?a?2时， 0?2?a?1，若x??0,????2?a?2?aa?1????，则g?x??0， g?x???2?a?2?a单调递增，而g?0??0，所以当x??0,?a?1?? ??时， g?x??0，即f?x??ax；
?（ⅲ）当a?1时， 2?a?1， g??x??0，所以g?x?在0,???单调递增，而g?0??0，所以对所有的x?0， g?x??0，即f?x??ax； 综上， a的最小值为2. 8分
（Ⅲ）由?1?an?1??1?an??1得， an?an?1?an?an?1，由a1?1得， an?0，
?答案第17页，总19页
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所以
?1?111??1，数列??是以?1为首项，1为公差的等差数列， an?1ana1?an?故
111?n， an?， an?1?9分 annn?1Sn?n111an?1?1???L? ?lnan?1 ? ln?n?1??2?n?1?23n2anx2?2x， x?0， 由（Ⅱ）知a?2时， 2ln?x?1??x?1x2即ln?x?1???x， x?0. 10分
2?x?1?法一：令x?n?1111??， ，得lnn2n?n?1?nn1?11?1???? 2?nn?1?n即ln?n?1??lnn?n因为
?1?11??n11分 lnk?1?lnk???lnn?1??????????2?kk?1??2?n?1?k?1?n111?1???L?12分
2?n?1?23n所以ln?n?1??故Sn?法二：
an?1?lnan?112分 2anSn?111nan?1?lnan?1 ? 1???L??ln?n?1??
23n2?n?1?2an下面用数学归纳法证明．
1x2（1）当n?1时，令x?1代入ln?x?1???x，即得1?ln2?，不等式成立
42?x?1?（2）假设n?kk?N*,k?1时，不等式成立，即1???111k??L??ln?k?1?? 23k2?k?1?则n?k?1时， 1?1111k1??L???ln?k?1??? 23kk?12?k?1?k?1答案第18页，总19页
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1k?211x2?ln?令x?代入ln?x?1?? ?x，得
k?1k?12?k?1??k?2?k?12?x?1?ln?k?1??k1kk?21??ln?k?1???ln?
2?k?1?k?12?k?1?k?12?k?1??k?2??ln?k?2??k?k?2??12?k?1??k?2??ln?k?2??k?1
2?k?2?即1?11112??L???ln?k?2?? 23kk?12?k?2?111n??L??ln?n?1??对任何n ?N*都成立. 23n2?n?1?由（1）（2）可知不等式1?故Sn?an?1?lnan?112分 2an考点：1利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n项和；5、不等式的证明．
视频
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