高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数
与对数函数学案文含解析新人教A版
第六节 对数对数函数
2019考纲考题考情
1．对数的概念 (1)对数的定义
如果a＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
(2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaNx特点 底数为a(a＞0，且a≠1) 底数为10 底数为e 记法 logaN lgN lnN ＝N(a>0且a≠1，N>0)。
N②logaa＝N(a＞0，且a≠1)。 (2)对数的重要公式
logaN①换底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1，N>0)。
logab1
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad。
logba 1
(3)对数的运算法则
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN。 ②loga＝logaM－logaN。 ③logaM＝nlogaM(n∈R)。 ④logamM＝logaM(m，n∈R)。 3．对数函数的图象与性质
nnMNnm
4.y＝a与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系
指数函数y＝a与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称。
xx 1
1．指数与对数的等价关系：ax＝N?x＝logaN。 2．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝
1
log； ba(2)lognnamb＝mlogab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad。
3．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故0 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。 一、走进教材 1．(必修1P75A组T11改编)(log29)·(log34)＝( ) A．14 B．12 C．2 D．4 解析 (loglg9lg42lg32lg2 29)·(log34)＝lg2×lg3＝lg2×lg3＝4。故选D。 答案 D －12．(必修1P311 73练习T3改编)已知a＝2 ，b＝log23，c＝log1 ，则( ) 23 A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 解析 因为0 ＝log23>1。所以c>a>b。故选D。 2 31 答案 D 二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是( ) A．y＝ln(1－x) C．y＝ln(1＋x) B．y＝ln(2－x) D．y＝ln(2＋x) 解析 y＝lnx图象上的点P(1,0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝lnx图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B项正确。故选B。 解析：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x＝1的对称点P(2－x，y)在函数y＝lnx图象上，所以y＝ln(2－x)。故选B。 答案 B 4．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ log2(x＋a)，若f(3)＝1，则a＝________。 解析 根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7。 答案 －7 三、走出误区 微提醒：①对数的运算性质不熟致误；②对数函数的图象特征不熟致误；③忽视对底数的讨论致误。 5．有下列结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9。其中正确结论的序号是________。 解析 ①lg10＝1，则lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的对数等于1，则 lgnlgmlgn，log3m＝，则＝2，即log3n＝2，故n＝9。 lgmlg3lg3 2 x＝10；④底的对数等于1；⑤logmn＝ 答案 ①②③④⑤ 6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A．a>1，c>1 C．0 B．a>1,0 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0 1 所以0 答案 D 7．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________。 解析 分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0 22 1 答案 2或 2 考点一对数式的化简与求值 【例1】 (1)已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为________。 3?22?2ab(2)已知2＝5＝10，则?＋? ＝________。 MN?ab? M－2N>0，?? 解析 (1)由题知?M>0， ??N>0， 2 2 所以M>2N>0。由2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，得 loga(M－2N)＝loga(MN)，所以(M－2N)＝MN，所以M－5MN＋4N＝0，即(M－4N)(M－N)＝0，所以M＝4N或M＝N(舍去)，所以＝4。 3 1122?22?2ab(2)由2＝5＝10可得a＝，b＝，所以＋＝2(lg2＋lg5)＝2，所以?＋? ＝ lg2lg5ab?ab?22。 答案 (1)4 (2)22 1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论，在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形。 2．利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化，需注意真数大于0。 lg27＋lg8－3lg10 【变式训练】 (1)求值：＝________。 lg1.2(2)设函数f(x)＝3＋9，则f(log32)＝________。 xx22 MN 1
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