2019-2020年高中数学 第1章 数列 2 等差数列 第4课时 等差数列
的综合应用同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于( ) A．72 C．36 [答案] A
[解析] ∵a1＝18－a5，∴a4＋a5＝18. 8∴S8＝
B．54 D．18
a1＋a8
2
＝4(a1＋a8)＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.
S31S6
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
S63S12
A.3
10
1B. 31D. 9
1C. 8[答案] A
[解析] 据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列． 设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k， ∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，
∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k， ∴
S63k3＝＝. S1210k10
3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 C．19 [答案] B
[解析] 由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以当n＝20时Sn最大．故选B.
4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A．2 C．4 [答案] B
B．3 D．5 B．20 D．18
[解析] 设等差数列公差为d， ∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，
S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，
∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
5．(xx·新课标Ⅰ高考)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝( )
A.17
2
B.19 2
C．10 [答案] B
D．12
[解析] 本题主要考查等差数列的通项及求和公式． 由题可知：等差数列{an}的公差d＝1，因为等差数列Sn＝a1n＋
nn－
2
d，且S8＝4S4，
1
代入计算可得a1＝；等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则
2
a10＝＋(10－1)×1＝.
故本题正确答案为B.
6．首项为18，公差为－3的等差数列，当前n项和Sn取最大值时，n等于( ) A．5或6 C．7 [答案] D
[解析] an＝18＋(n－1)×(－3)＝21－3n， 令?
?an＝21－3n≥0，?
??an＋1＝21－
12192
B．6 D．6或7
n＋，
解得6≤n≤7，
故n等于6或7. 二、填空题
7．(xx·北京理，12)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
[答案] 8
[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n项和．
由等差数列的性质，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，于是有a8>0，a8＋a9<0，故a9<0，故S8>S7，S9
8．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________. [答案] －1
[解析] 本题考查了对等差数列前n项和的理解和应用，同时还考查了等差数列的运算性质及考生灵活处理问题的能力．
∵S2＝S6，∴S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝0 又∵a3＋a6＝a4＋a5
∴S6－S2＝2(a4＋a5)＝0，∴a4＋a5＝0 又∵a4＝1，∴a5＝－1. 三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝5－3，求数列的通项公式an. [解析] ∵数列的前n项和Sn＝5－3， ∴当n＝1时，a1＝S1＝5－3＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5－3)－(5＝4·5
n－1
nn－1
nn－3)
，
∴a1＝S1＝2不满足上式．
?n＝??∴数列的通项公式an＝n－1?4·5?
n
.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由． [解析] (1)设{an}的首项为a1，公差为d，由已知有
??12a＋12×11d>0
2
?13×12??13a＋2d<0
11
a1＋2d＝12
，将a1＝12－2d代入两个不等式，消去a1得?
?24＋7d>0?
??12＋4d<0
?
24
－ 12×1112a＋d>0??2??13×12 13a＋d<0??2 11 ??S12>0 (2)解法一：由? ?S13<0? 11??a1＋d>0 2????a1＋6d<0 11??a1＋d>0 2????a17<0 . 因为d<0，a16＝a1＋5d>a1＋大的是S6. 11 d>0，可知a1>a2>…>a6>0>a7>…，所以S1，S2，…，S12中最2 [另法：S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，得a6＋a7>0，a7<0.所以a6>－a7>0.所以S6最大．] 解法二：Sn＝na1＋nn－ 2 1d24－5ddd＝n(12－2d)＋n(n－1)d＝n2＋n，二次函数y＝x2 2 2 2 2 24－5d224－5d51224512 ＋x的对称轴方程为x＝－＝－，由于－ 2d2d72d2·2 n＝6时，S6最大. 一、选择题 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为( ) A．5 C．7 [答案] B 111113[解析] 解法一：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0，且a1＝－d，∴an＝－d＋(n－1)d＝nd－ 222 ??an≥0 d，由? ?an＋1<0? B．6 D．8 ， 13 nd－d≥0??2得?13 n＋d－d<0??2 11 ，∴5 22 解法二：∵a1>0，S4＝S8， ∴d<0且a5＋a6＋a7＋a8＝0， ∴a6＋a7＝0，∴a6>0，a7<0，∴前六项之和S6取最大值． 2．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A．d<0 C．a1d<0 [答案] C [解析] 本题考查等差数列、指数函数的性质． 数列{2a1an}递减，∴{a1an}递减． ∴a1an－a1an－1＝a1(an－an－1)＝a1d<0. 本题的关键是利用指数函数单调性判定{a1an}递减． 3．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( ) 11 A.， 22 1B.，1 2B．d>0 D．a1d>0
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