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第1讲 坐标系与参数方程
高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?
??x＝1＋tcos α，方程为?(t为参数).
?y＝2＋tsin α?
?x＝2cos θ，?
??y＝4sin θ
(θ为参数)，直线l的参数
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率. 解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
416
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程， 整理得关于t的方程
(1＋3cosα)t＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内， 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0. 4（2cos α＋sin α）
又由①得t1＋t2＝－， 2
1＋3cosα
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程. 解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得C2的直角坐标方程为x＋y＋2x－3＝0，
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2
2
2
2
2
x2y2
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即(x＋1)＋y＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2， |－k＋2|4所以＝2，故k＝－或k＝0.
3k2＋1经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
4
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.
3当l2与C2只有一个公共点时，
22
A到l2所在直线的距离为2，
所以|k＋2|
4
＝2，故k＝0或k＝.
3k2＋1
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点； 4
当k＝时，l2与C2没有公共点.
34
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
3
考 点 整 合
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，
相同的长度单θ)
，
则
?ρ＝x＋y，??x＝ρcos θ，?
? ?y?y＝ρsin θ，?tan θ＝（x≠0）.?
x?
2.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
222
?π?(3)直线过M?b，?且平行于极轴：ρsin θ＝b.
2??
3.圆的极坐标方程
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几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
?π?(3)当圆心位于M?r，?，半径为r：ρ＝2rsin θ.
2??
4.直线的参数方程
??x＝x0＋tcos α，
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为?(t为参数).
?y＝y0＋tsin α?
→
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量. 5.圆、椭圆的参数方程
??x＝x0＋rcos θ，
(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数，0≤θ≤2π).
?y＝y0＋rsin θ??x＝acos θ，?x2y2
(2)椭圆2＋2＝1的参数方程为?(θ为参数).
ab?y＝bsin θ?
热点一 曲线的极坐标方程
【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.
3??
解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
cos θ
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 π??1??S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·?sin?α－?? 2
2
2
??3??
π?3??
＝2?sin??2α－3?－2?≤2＋3.
????π
当α＝－时，S取得最大值2＋3.
12
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所以△OAB面积的最大值为2＋3.
探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ＝x＋y，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【训练1】 (2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin?求直线l被曲线C截得的弦长.
解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆. 因为直线l的极坐标方程为ρsin?
2
2
2
yx?π－θ?＝2，
曲线C的方程为ρ＝4cos θ，?
?6?
?π－θ?＝2，
??6?
π
则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
6所以A为直线l与圆C的一个交点. π
设另一个交点为B，则∠OAB＝.
6π
连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，
2π
所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos ＝23.
6因此，直线l被曲线C截得的弦长为23. 热点二 参数方程及其应用
【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C??x＝a＋4t，
的参数方程为?(t为参数).
?y＝1－t?
??x＝3cos θ，
的参数方程为?(θ为参数)，直线
?y＝sin θ?
l(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a. 解 (1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0. 曲线C的标准方程是＋y＝1，
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x2
2
x＋4y－3＝0，x＝－，???25??2x＝3，?
?联立方程?x解得或? 2
?y＝024＋y＝1，???9??y＝.25
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