最小二乘法的多项式拟合(matlab实现)

__________________________________________________

用最小二乘法进行多项式拟合（matlab实现）

西安交通大学

徐彬华

算法分析：

对给定数据 (i=0 ,1,2,3,..,m),一共m+1

个数据点，取多项式P(x),使

函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，令似的 使得

其中，a0，a1,a2,…,an为待求未知数，n为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求

的极值问题。由多元函数求极值的必要条件：

j=0,1,…,n

得到：

j=0,1,…,n

__________________________________________________ 这是一个关于a0，a1,a2,…,an的线性方程组，用矩阵表示如下：

__________________________________________________

因此，只要给出数据点 及其个数m，再给出所要拟合的参数n，则即可求出未知数矩阵（a0，a1,a2,…,an）

试验题1

编制以函数 x??-0.5 kn k ? 0

为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对

下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi≡1) xi yi -1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552 总共有7个数据点，令m=6

第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数n;

x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552]; plot(x,y,'*') xlabel 'x轴' ylabel 'y轴' title '散点图' hold on

__________________________________________________

__________________________________________________

因此将拟合参数n设为3.

第二步：计算矩阵

A= 注意到该矩阵为（n+1）*(n+1)矩阵，

多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元素，程序如下： m=6;n=3; A=zeros(n+1); for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1

A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2) end end end;

再来求矩阵

__________________________________________________