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第1课时 绝对值不等式
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
1．(2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集． 解 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围． 解 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 12 3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 2解 设y＝|2x－1|＋|x＋2| 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. －3x－1，x<－2， ?1?－x＋3，－2≤x<，2＝? 1 3x＋1，x≥.??2 当x<－2时，y＝－3x－1>5； 15当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>； 22 155 当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋ 22215122 |x＋2|≥a＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a＋a＋2. 22252111 解不等式≥a＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]. 2222题型一 绝对值不等式的解法 例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 解 (1)当a＝1时， f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解； 2 当－1 3当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2. ???2 所以f(x)>1的解集为?x? ???3 ?? ?. ?? x－1－2a，x<－1，?? (2)由题设可得，f(x)＝?3x＋1－2a，－1≤x≤a， ??－x＋1＋2a，x>a. 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A? ?2a－1，0?， C(a，?B(2a＋1,0)， ?3? a＋1)， 22 △ABC的面积为(a＋1). 322 由题设得(a＋1)>6，故a>2. 3所以a的取值范围为(2，＋∞)． 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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