南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试

数 学 2017．03

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

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2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1

1．函数f(x)＝ln的定义域为 ▲ ．

1－x

－2．若复数z满足z(1－i)＝2i（i是虚数单位），－z是z的共轭复数，则z·z＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．

4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：

男性青年观众 女性青年观众 不喜欢戏剧 40 40 喜欢戏剧 10 60 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为 ▲ ．

6．记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S4－5S2＝0， 则S5的值为 ▲ ．

π

7．将函数f(x)＝sinx的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，

3则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为 ▲ ．

S←1 I←1 While I≤8 S←S＋I I←I＋2 End While Print S （第5题图）

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为 ▲ ．

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π3π

9．若sin(α－)＝，α∈(0，)，则cosα的值为 ▲ ．

652

10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．

①若α∥β，m?α，则m∥β； ②若m∥α，n?α，则m∥n； ③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．

11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实

数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为 ▲ ．

12．若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为 ▲ ． →→→→13．已知平面向量AC＝(1，2)，BD＝(－2，2)，则AB?CD的最小值为 ▲ ．

b

14．已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则的最

a

小值为 ▲ ．

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二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2． （1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小； π

（2）若∠ABC＝，求△ADC的面积．

416．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB． B

C D

（第15题图1） D B

A

A

（1）求证：CD⊥AP；

（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB； 17．（本小题满分14分）

C D

C 2） （第15题图A B

在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的

P

（第16题图） 四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．

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（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

18．（本小题满分16分）

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋2＝1经过点(b，2e)，其中e

8b

为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆CB于A，B两点(A在x轴下方)．

（第17题图）

A D

C

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求

AT·BT

的值； MN 2

→2→

（3）记直线l与y轴的交点为P．若AP＝TB，求直线l的斜率k． 5y 19．（本小题满分16分）

已知函数f (x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R． （1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．

①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；

N A O T P x M B ?f (x)，x≤m，（第18②若函数F(x)＝?的值域为R，求实数m的取值范围； 题图）

g (x)，x＞m?

（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，

求证：e－1≤a≤e2－e．

20．（本小题满分16分）

Sn

已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1－，

n an＋1＋an＋2Sn

(n＋2) cn＝－，其中n∈N*．

2n

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

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数学附加题 2017．03

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指．．．．

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定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M． （1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度； （2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN． B．选修4—2：矩阵与变换 C C N 9x＋y－91＝0．求实数A a，b的值． C．选修4—4：坐标系与参数方程 ? 3 0?设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= ?? 对应的变换作用下，得到的直线为l′：

?－1 b?O O M B A M B ?x＝1＋5t，?x＝4k，

在平面直角坐标系xOy中，直线l：?4(t为参数)，与曲线C：?(k为参数)交

?y＝4k

?y＝5t2

（第21(A)图）

3

于A，B两点，求线段AB的长． D．选修4—5：不等式选讲

设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出．．．．．．．．

文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2， π

∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．

3（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值； （2）点M在线段A1D上，23．（本小题满分10分）

A1M

＝λ ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值． A1D

A1

D1

n(n＋1)B1 C1 现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：

2

* ………………… 第M1 行 * * ………………… 第2行 A

D

* * * ………………… 第3行

B …………… C E

………………… （第22题图）

* * ………… * * ………………… 第n行

设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn． （1）求p2的值；

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F