∵E为PC的中点，
∴DE平分?PDC，?PDE?60?,
∴在Rt?PDE中，DE?PD?cos60?1，????2分 过E作EH?CD于H，则DH?∵AF??
1，连结FH， 21，∴四边形AFHD是矩形， ??????4分 2∴CD?FH，又CD?EH，FH?EH?H，∴CD?平面EFH，
EF?EFH又平面，
C?D． ??????7分
∴
（Ⅱ）∵AD?PD?2，PA?22，∴A D?PD，又AD?DC，∴AD?平面PCD，又AD?平面ABCD，∴平面PCD?平面ABCD．
（Ⅱ）过D作DG?DC交PC于点G，则由平面PCD?平面ABCD知，DG?平面ABCD，
故DA,DC,DG两两垂直，以D为原点，以DA,DC,DG所在直线分别为x,y,z轴，
建立如图所示空间直角坐标系
O?xyz， ??????9分 则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,?1,3)，又知E为PC的中点，
????1313E(0,,)，设F(2,t,0)，则DE?(0,,)，
2222????DF?(2,t,0)，
PzED来源学科网ZXXK]
????????DP?(0,?1,3)，DA?(2,0,0)．????8分
设平面DEF的法向量为n?(x1,y1,z1)，
CByAx?????13?n?DE?0,z1?0,??y1?则?????∴?2 2??n?DF?0,?2x?ty?0,?11F取z1??2，可求得平面DEF的一个法向量n?(?3t,23,?2)，
??????m?DP?0,ADP设平面的法向量为m?(x2,y2,z2)，则? ??????m?DA?0,所以
???y2?3z2?0,???2x2?0,取
m?(0,3,1)． ??????13分
???∴cos??cos?m,n??∴
当
6?22?3t2?12?4AF?43?43，解得t?
34时
满
足
cos??
3． ??????15分 418.(本题满分15分)已知f(x)?ax2?bx?c(a?0)，
(Ⅰ)当a=1,b=2，若f(x)?2?0有且只有两个不同的实根，求实数c的取值范围； （Ⅱ）设方程f(x)?x的两个实根为x1，x2,，且满足0?t?x1,x2?x1?1试判断f(t)与ax1的大小，并给出理由.
(1)f(x)?x2?2x?c?(x?1)2?c?1
??2?c?1?2
??1?c?3 ????6分
（Ⅱ）解法1：方程f(x)?x，即ax2?(b?1)x?c?0，由题意得
x1?x2?1?bc,x1x2?， aa2f(t)?x1?at2?bt?c?(ax1?bx1?c)?(t?x1)(at?ax1?b) （1） ????
10分
?x1?x2?1?b,?ax1?ax2?1?b ，即ax1?b?1?ax2 代入 (1)得 a2f(t)?x1?at2?bt?c?(ax1?bx1?c)?(t?x1)(at-ax2?1) ?0?t?x1，?t?x1?0 ，?0?t?x1,?at?ax2?1?ax1?ax2?1，
1?x2?x1?，?ax1?ax2??1，即at?ax2?1?ax1?ax2?1?0.
a所以
f(t)?x1 ????15
.解法2.设f(x)?x?a(x?x1)(x?x2)
?f(x)?a(x?x1)(x?x2)?x f(t)?x1?a(t?x1)(t?x2)?t?x1
1?a(t?x1)[(t?x2)?] (0?t?x1)
a1?a(t?x1)(x1?x2?)
a
?x2?x1?11 ?x2?x1??0 aa?f(t)?x1
解法3
f(x)?x?0
?ax2?(b?1)x?c?0
1?b?(b?1)2?4ac1?b?(b?1)2?4ac x1?x2?2a2a(b?1)2?4ac1x2?x1??
aa?(b?1)2?4ac?1
1?b?(b?1)2?4acb?x1???
2a2a?f(x)在(??,?b)?且0?t?x1 2a?f(t)?f(x1)?x1
解法4：
f(x)?x?0
?ax2?(b?1)x?c?0 ?x1?x2??b?1（1） a11b?x2?x1?，?x1?x2??，（2） （1）+（2）可得?x1?? ，后面证法与方法
aa2a3一致.
x219.（本题满分15分）已知椭圆C:?y2?1与直线l:y?kx?m相交于E、F两不同点，
2且直线l与圆O:x2?y2?原点).
（Ⅰ）证明：OE?OF； （Ⅱ）设??
解：（Ⅰ）因为直线l与圆O相切 所以圆O:x2?y2?2相切于点W(O为坐标3EWFW，求实数?的取值范围.
2的圆心到直线l的距离3d?m1?k2?2222，从而m?(1?k)?2分
33?x2??y2?1由?2 可得：(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2?0 ?y?kx?m?设E(x1,y1)，F(x2,y2)
4km2m2?2则x1?x2??，x1x2? ???????????????????5分 221?2k1?2k????????所以OE?OF?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)
2m2?2?4k2m2?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m?(1?k)??m2221?2k1?2k 22223m?2k?22(1?k)?2k?2???01?2k21?2k2所以OE?OF ??????????????????????????????8分
EWOE2?（Ⅱ）方法1：由有射影定理可知?? 2FWOF?y?kx2?2设直线OE的方程为y?kx，与椭圆联立可得?x2 ?x?1221?2k??y?1?22k22同理可得x2?2 10
k?2222分
2(1?k2)()2OEk2?21311?2k???????(,2] 13222222(1?2k)2OF12k1?2k(1?2)(2)kk?22分
OE21? 当k不存在是，则E,F分别为椭圆的上下和左右顶点，则??22OF1所以??[,2] 15分
2x12x222?y1?1,?y22?1, 方法2?直线l与圆O相切于W，22EW????FWOE?r2OF?r222?2x?y?3?222x2?y2?32121x121?23 ????????????10分 2x21?23由（Ⅰ）知x1x2?y1y2?0，
22 ?y12y2?x1x2??y1y2，即x12x22x12x24?2x122从而xx?(1?)(1?)，即x2?
222?3x122212x121?2?3x1223 ??????????????????????? 13分 ????24x21?231因为?2?x1?2，所以??[,2] ??????????????????15分
222?20.（本题满分15分）已知数列?an?，an?0，a1?0，an?a?1?a(n?N)． ?1n?1n记Sn?a1?a2???an．Tn??111 ????1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)求证：当n?N时（Ⅰ）0?an?an?1?1；（Ⅱ）Sn?n?2；（Ⅲ）Tn?3 证明：因为
22an?1?an?1?1?an(1)22an?an?1?an?1(2)(n?2)22 （1）（-2）得(an?1?an)(an?1?an?1)?an?an?1
所以（1）（-2）得an?1?an与an?an?1同号，即与a2?a1一致.因为a2??1?5，且2a2?a1?0， ?an?1?an?0
2222?an?an?1?an?1?1?an，?1?an?1?an?1?0 即an?1?1
根据①和②，可知0?an?an?1?1对任何n?N*都成立．
，2，?，n?1（n≥2）（Ⅱ）证明：由ak?12?ak?1?1?ak2，k?1，
2得an?(a2?a3???an)?(n?1)?a12． 2因为a1?0，所以Sn?n?1?an．
?an?1，
所以Sn?n?2． ????10分 （Ⅲ）证明：由ak?12?ak?1?1?ak2≥2ak，得
a1≤k?1(k?2，3，?，n?1，n≥3)
1?ak?12ak所以
a1≤n?2n(a≥3)，
(1?a3)(1?a4)?(1?an)2a2ana11≤n?22?nn?(n≥3)， ?2n?2(1?a2)(1?a3)?(1?an)2(a2?a2)2211???n?2?3， 22于是
故当n≥3时，Tn?1?1?又因为T1?T2?T3，
所以Tn?3． ????15分
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