第四节 归纳与类比
[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
(对应学生用书第87页) [基础知识填充]
1．归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．
2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确． 4．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )
(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( ) A．归纳推理 C．演绎推理
B．类比推理 D．以上都不是
B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物
的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B．]
3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) A．an＝3n－1 C．an＝n
2
B．an＝4n－3 D．an＝3
2
n－1
C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n.]
?1?xx4．“因为指数函数y＝a是增函数(大前提)，而y＝??是指数函数(小前提)，所以函数y?3??1?x＝??是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) ?3?
A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提错误导致结论错误
A [“指数函数y＝a是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]
5．(2018·开封模拟)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________. 【导学号：00090211】
A [由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．]
(对应学生用书第88页)
x 归纳推理 11212312m (1)数列，，，，，，…，，，…，，…的第20项是( )
233444m＋1m＋1m＋15
A．
85
C．
7
3
B． 46D． 7
2
(2)(2016·山东高考)观察下列等式： π?－2?2π?－24? ?sin ?＋?sin ?＝×1×2； 3?3?3??
π?－2?2π?－2?3π?－2?4π?－24? ?sin ?＋?sin ?＋?sin ?＋?sin ?＝×2×3； 5?5?5?5?3????
π?－2?2π?－2?3π?－26π?－24π?－2??? ?sin ?＋?sin ?＋?sin ?＋…＋?sin ?＝×3×4；?sin ?＋7?7?7?7?9?3?????
?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 8π?－2＝4×4×5； ??????9?9?9?3???
…… 照此规律，
π?－2?2π?－2?3π?－22nπ?－2?? ?sin ＋?sin ＋?sin ＋…＋?sin ????＝________.
2n＋1?2n＋1?2n＋1?2n＋1?????4mm (1)C (2)n(n＋1) [(1)数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝3m＋155
＝5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C．
67
44
(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左334
边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个344
自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．]
33 [规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． 2．归纳推理的一般步骤：
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质； (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．
14xx4
[变式训练1] (1)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋2＝＋＋2≥3，xxx22x＋
27xxx27a*
…，类比得x＋n≥n＋1(n∈N)，则a＝__________. 【导学号：3＝＋＋＋3≥4，
x333xxm＋
2
项，当m00090212】
(2)下面图形由小正方形组成，请观察图6-4-1(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n
3
个图形中小正方形的个数是__________．
图6-4-1
(1)n(n∈N) (2)
n*
nn＋
2
(n∈N) [(1)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1＝1；
2
3
*1
第二个式子是n＝2的情况，此时a＝2＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝3＝27，归纳可知a＝n.
(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为N)．]
*
nnn＋
2
(n∈
类比推理 (1)(2017·陕西师大附中模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}?bn＝
??
a1＋a2＋…＋an?
?也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，n?
且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( ) A．dn＝
c1＋c2＋…＋cn
nB．dn＝c1·c2·…·cn nnnnnnc1
＋c2＋…＋cn C．dn＝ nD．dn＝c1·c2·…·cn
(2)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图6-4-2)，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于
ACAEBCBEE，则得到类比的结论是________________．
图6-4-2
(1)D (2)＝AES△ACD [(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比
EBS△BCDn几何平均数，故dn的表达式为dn＝c1·c2·…·cn. 法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋
nn－
2
d，
4
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