数值分析复习题及答案

由牛顿插值公式：

p3(x)?N3(x)?438x?2x2?x?1,331411813?p3()?()3?2()2?()?1?2232232

18、解：

f(x,y)??y?x?1,y0???1,h?0.1,yn?1?yn?0.1(xn?1?yn),(n?0,1,2,3,)y0?1,yk?1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.

14A0?A2?h,A1?h33。 19．解：分别将f(x)?1,x,x，代入求积公式，可得

234f(x)?xf(x)?x令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。

20、解：设y?a?bx则可得

?5a?15b?31??15a?55b?105.5

于是a?2.45,b?1.25，即y?2.45?1.25x。解：

?2346??4???3525????3?433032??2???330?4???011/4?41/2?03/2?11??433032?????011?82?38??0012???22. 解：用反插值得

33032??4??525???3?346???232??43???19???011/4??10?0??033032??525?346??3032???41/2?19?2/114/11???4x1?3x2?30x3?32,?x1?13,??11x2?82x3??38,??x2?8,???x?2.x3?2.?3?即

13

(y?4)(y?5)(y?7)(y?2)(y?5)(y?7)(y?2)(y?4)(y?7)?2?4(2?4)(2?5)(2?7)(4?2)(4?5)(4?7)(5?2)(5?4)(5?7)(y?2)(y?4)(y?5)?5(7?2)(7?4)(7?5)8令y?0得x?f?1(0)?3 x?f?1(y)?2f(x)?1,x,x 解 令代入公式精确成立，得

??A?B?2h???hA?Bx1?0?2?h2A?Bx12?h33； ?131x1?h,B?h,A?h322，得求积公式 解得

?h?hh1f(x)dx?[f(?h)?3f(h)]23

hh134430?f(x)dx?[(?h)?3f(h)]??h3?f(x)?x?h239对；故求积公式具有2次代数精确度。

24、解：本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

11?1x?x??41526x3?9?1?1??x2?x3??445?6013? x3??154?15?

故

x3??154?153??177.691x3)?476.924511x1?4(9?x3?x2)??227.0865 x2??60(?4???2x1?3x2?1?2222x1?3x2?1f(x)?1,x,x??. 解：由等式对精确成立得：,

解此方程组得

?1?6?x1??5?3?26?x?2?15?

3f(x)?x又当时 左边?右边

14

? 此公式的代数精度为2. 解：梯形法为yn?1?yn?0.2[(2xn?5yn)?(2xn?1?5yn?1)] 即

yn?1?215(x1n?xn?1)?15yn

迭代得

y1?0.62667,y2?0.55566,y3?0.58519,y4?0.64840,y5?0.72280

??183?1?15???A(1)|b(1)?????12?3315?. 解：先选列主元i1?2，2行与1行交 换得

??,?1116??消元3行与2行交换；消元；

回代得解x3?3,x18?72?2,x1?1；行列式得

detA??16?227??66

解：3是f(x)?x2?3?0的正根，f'(x)?2x，牛顿迭代公式 为xx2n?3x3n?1?xn?2xxnn?1??(n?0,1,2,...)n， 即 22xn

取x0=1.7, 列表如下：29、已知数据如

下：

求形如y?1a?bx拟合函数。

解：

15

；

11?a?bx,令z?,则z?a?bxyy?xi?15i?9,?xi?17.8,?zi?16.971,?zixi?35.9022i?1i?1i?15559??a??16.971??5解此方程组得???b???35.3902?917.8???????a??2.0535拟合曲线为??b?3.02651y??2.0535?3.0265x

30、解：过点(x0,f0),(x1,f1),(x2,f2)的二次拉格朗日插值多项式为

L2(x)?(x?x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)(x?x1)(x?x2)f0?f1?f2(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)

代值并计算得 sin0.34?L2(0.34)?0.33336。 31、解：

?yn?1?yn?h(yn?xn),??hy?y?[(yn?xn)?(yn?1?xn?1)],n?1n?2?

(n?0,1,2,3,L)y0?1,

yk?1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.32、解：

16