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5.3（1）同角三角比的关系与诱导公式
上海市杨浦高级中学 江海涛
一、教学内容分析
当我们把角的概念推广到任意角以后，给出了任意角的三角比的定义，为了求任意角的三角比的值，由三角比的定义探求同角三角比的关系和诱导公式，成为本节我们要研究的课题。
同角三角比间的八个关系式，主要用于：
（1）已知某角的一个三角比的值，求它的其余各三角比的值； （2）化简三角比的关系式； （3）证明三角恒等式； （4）解三角方程。
鉴于八个关系式的应用如此之广，因此要牢固掌握，并能灵活运用。记一个公式时，还要灵活地写出这个公式的某些变形，熟记这些公式对以后的学习是必要的。
诱导公式沟通了任意角三角比与锐角三角比以及终边有特殊位置关系的角的三角比之间的联系．在求任意角的三角比的值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用。
由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“??”、“2???”、“???”等诱导公式，我们知道，???角的终边与?角的终边关于y轴对称；???角的终边与?角的终边关于原点对称，??，2???角的终边与?角的终边关于x轴对称，所以???、???、??、2???各角的三角函数值与?角的三角比的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角比的符号来确定，诱导公式有很多，但是抓住终边的对称性及三角比定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了。
诱导公式可以帮助我们把任意角的三角比化为锐角三角比，在求任意角的三角比时起很大作用，但是随着计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的?角可以是任意角，即??R，它在终边具有某种对称性的角的三角比变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移
?个长度单位而得到的。 2在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在思考，以达到优化思维品质的功效．用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点．讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键。 二、教学目标设计
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1.复习巩固三角比的定义;
2.由三角比的定义,找出同角三角比的基本关系式; 3.理解同角公式都是特定意义的恒等式; 4. 会简单应用同角公式. 三、教学重点及难点
重点: 同角公式的推导与应用
难点: 三角比符号的确定及公式的变形应用 四、教学流程设计 运用定义讨论同角三角比的关系。 创设问题情景，提出问题 复习三角的定义 运用定义确定三角比的符号 讨论公式的特点及变形式，探讨记忆的方法 同角三角比的关系的简单应用。 课堂练习 课堂小结， 布置作业
五、教学过程设计
一、 情景引入 1．背景:如果sin?? 2．思考
3，?为第一象限的角，如何求角?的其它三角比值； 5r?问题1:已知角?终边上一点P(x,y)，x2?y2，则角?的六个三角比分别是什么？
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sin??yxxyrr;cos??;tan??;cot??;sec??;csc?? rryxxycos?、tan?、cot?的符号分别是怎样的？ 问题2:当角?分别在不同的象限时，sin?、 3．讨论:由于?的三角比都是由x、y、r表示的，则角?的六个三角比之间有什么关系？
二、学习新课 1．探求公式
（板书课题：同角的三角比的基本关系）
1.由三角比的定义，我们可以得到以下关系：sin??cos??1 理论证明：（采用定义） 221??x2?y2?r2yx,cos???sin2??cos2??1rr ?sin?yxyry2?当??k??(k?Z)时，??????tan?2cos?rrrxx且sin???sin??csc??1?（1）倒数关系：?cos??sec??1 ?tan??cot??1?sin??tan???cos? （2）商数关系：?cos??cot??sin???sin2??cos2??1?22（3）平方关系：?1?tan??sec? ?1?cot2??csc2??[说明]
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin4??cos4??1,
222?tan?等； ?2cos2sin?②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
tan??cot??1(??k?,k?Z)； 2③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
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cos???1?sin2?，sin2??1?cos2?， cos??sin?等。 tan?④据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。 2．例题分析
3.例题1：已知cos??4,且?为第四象限的角，求?的其他三角比的值； 5解：??为第四象限的角， ?sin???1?cos2???
35sin?3455tan????,cot???,sec??,csc???coa?4343 提问：(1)如果去掉?为第四象限的角这个条件，应如何求?的其他三角比的值？ (2)练习:已知cos??8,求?的其他三角比的值？ 175cos?和cot?； ，求sin?、124.例题2：已知 tan??解:cot??112? tan?52∵1?tan??sec?,∴cos??221122?() 2131?tan?∵tan??5?0,∴?是第一或第三象限角 12当?是第一象限角时,sin??0,cos??0
cos??125,sin??1?cos2?? 1313当?是第三象限角时,sin??0,cos??0
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