如果x???t?、y???t?还二阶可导，则有二阶导数 d?dy??d2yd?dy?dt?dx???????dxdx2dx?dx?dt ???t?????t??????t????t?????t???????t?2? ???t?????t??????t????t??????t???3. 三、主要例题： 例1 求下列函数的导数： （1）y?e2x; （2）y?sinx2; （3）y?(x2?1)10; (4) y?1?x2； （5）y?ln?sinx?； （6）y?cos2x； （7）y?esinx2； (8) y?(x?sin2x)3. 例2 求y?1?x的导数. 1?x例3 求函数y?lnx2?1的导数. 例4 求幂指函数y?x(x?0,x?1)的导数. 例5 已知f(u)可导，求函数y?f(tanx)的导数. 例6 设y?x2?lnx，求y''. 例7设y?arctanx, 求f''(0). 例8 证明y?exsinx满足关系式y''?2y'?2y?0. 例9求y?x?的n阶导数. 例10设y?1x1(n)，求y. 1?x1的n阶导数. x2?5x?6例11 求cosx的n阶导数. 例12 求f?x??2*例13 求y?xsinx的50阶导数. 例14 设方程y?1?xey所确定的隐函数为y?y(x)，求y?x?0. 例15 求由方程xy?lny?1所确定的函数y?y(x)在点M(1,1)处的切线方程. 例16 设x4?xy?y4?1, 求y??在点(0,1)处的值. 例17 求由方程xy?yx(x,y?0,x,y?1)所确定的隐函数y对x的导数dy. dx(x?1)3x?1例18 设y?, 求y?. 2x(x?4)e例19 已知圆的参数方程为??x?acostdy. ，(a?0)，求dx?y?asint3?dy?x?acos?. 例20 设参数方程为 ?，，求(a,b?0)3dx??y?bsin?2?dy?x?ln?1?t?例21 计算参数方程?的一阶导数. dx??y?t?arctant?x?a?t?sint?d2y例22 计算参数方程?的二阶导数2. y??acostdx?*例23一长为5米的梯子斜靠在墙上. 如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速率.
授课序号03
教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章 第三节 微分的概念与应用 课的类型 新知识课 教学手段 黑板多媒体结合 教学难点 一阶微分的形式不变性 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 微分的定义，四则运算，和导数的关系 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 定义 设函数f?x?在某区间I内有定义，x0，x0??x?I，如果函数的增量 ?y?f?x0??x??f?x0?可表示成 ?y?A?x?o??x?， 其中A为不依赖于?x的常数，而o??x?是比?x的高阶无穷小，那么称函数y?f?x?在点x0处是可微的， 而A?x叫做函数y?f?x?在点x0相应于自变量增量?x的微分，记作dy|x?x0，即dy|x?x0?A?x. 如果函数y?f(x)在区间?a,b?内每一点都可微，则称f(x)是?a,b?内的可微函数. 函数f(x)在任意一点x处的微分就称为函数的微分，记为dy，即有 dy?f??x??x. 取y?x（函数即为自变量），则有dy?dx?1??x，即dx??x，这样微分可记为 dy?f??x?dx， 并且有 y?? 二、定理与性质： dy. dx定理 函数f?x?在x?x0处可微的充分必要条件是f?x?在x?x0处可导. 三、主要例题： 引例 一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由例1 设y?x2，求（1）dy|x?x0；（2）dyx?1x0变到x0??x，问此薄片的面积改变了多少？ . 及dyx?0.01例2 求函数y?x3在x?1时，?x分别等于0.01和 0.0001时的增量与微分. 例3 设y?cosx，求dy. 例4 设y?ecosx，求dy. 例5 设y?ln(1?x)sinx，求dy. 例6 设y?y(x)是由方程x2y?xy2?1确定的隐函数，求dy. 例7 利用微分计算sin30o30?的近似值. 例8 计算665的近似值. 2
授课序号04
教 学 基 本 指 标 教学课题 第二章 第四节 微分中值定理及其应用 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 罗尔定理及其应用，拉格朗日定理及其应用，洛教学难点 柯西定理 必达法则 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理。 掌握洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 二、定理与性质： 引理（费马定理） 设函数f(x)在点x0的某个领域U(x0)内有定义并且在x0处可导， 如果对任意的x?U(x0)，有 f(x)?f(x0)(或f(x)?f(x0))， 那么f'(x0)?0. 定理1 (罗尔定理) 如果函数y?f(x)满足 ⑴ 在闭区间[a,b]上连续； ⑵ 在开区间(a,b)内可导； ⑶ 在区间端点处的函数值相等，即f(a)?f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点?(a???b)，使函数y?f(x)在该点的导数等于零：f(?)?0. 定理2 （拉格朗日定理）如果函数y?f(x)满足 ⑴ 在闭区间[a,b]上连续； ⑵ 在开区间(a,b)内可导； '
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