综合检测(一)
一、选择题
1.如果命题(綈p)∨(綈q)是假命题，则在下列各结论中： ①命题p∧q是真命题； ②命题p∧q是假命题； ③命题p∨q是真命题； ④命题p∨q是假命题. 正确的为 A.①③ A.－1
2
( )
( )
B.②④
2
C.②③
D.①④
2.某质点的运动方程是s＝t－(2t－1)，则在t＝1 s时的瞬时速度为
B.－3
2
C.7
D.13
( )
3.“ab<0”是“方程ax＋by＝c表示双曲线”的 A.必要不充分条件 C.充要条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
( )
4.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于
m4A.5
B.5或8
x－1
x2
y2
C.5或3
*
D.20
2
5.下列命题中的假命题是 A.?x∈R,2
>0
C.?x∈R，lg x<1
( )
B.?x∈N，(x－1)>0
D.?x∈R，tan x＝2
π?π?6.已知f(x)＝sin x＋cos x＋，则f′??等于
2?2?
( )
ππ
A.－1＋ B.＋1 C.1
2212
7.抛物线y＝x的焦点到准线的距离是
4
11
A. B. C.2 42
2
D.－1 D.4
( )
8.抛物线y＝12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )
93A.33
B.23
C.2
D.3
x2y2
9.过点P(0,3)的直线与双曲线－＝1只有一个公共点，则这样的直线有
43
( ) A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
x2
y2
10.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋
f(x)g′(x)>0.且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是
( )
A.(－3,0)∪(3，＋∞) B.(－3,0)∪(0,3) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(0,3)
11.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 A.1∶π A.2 二、填空题
13.命题“?x∈R，x＋1>0”的否定是________.
2
3
2
D.9
( )
B.2∶π
C.1∶2
D.2∶1
12.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x－ax－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
B.3
C.6
x2y21
14.若双曲线－2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则右焦点坐标为________.
4b222xy15.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝10，则S△PF1F2＝________.
64
48
16.若函数f(x)＝kx＋3(k－1)x－k＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是________. 三、解答题
3
2
2
x2y2432
17.已知命题p：“椭圆＋＝1的焦点在y轴上”；命题q：f(x)＝x－2mx＋(4m－3)x2m3
－m在(－∞，＋∞)上单调递增，若綈p∧q为真，求m的取值范围. 18.已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上. (1)求抛物线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx－3过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点间的距离.
19.已知函数f(x)＝x－3ax－bx，其中a，b为实数. (1)若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值；
(2)若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围.
20.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为每件p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p.问该商品零售价定为多少元时，毛利润L最大，并求出最大毛利润.(毛利润＝销售收入－进货支出)
3?3?21.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P?0，?到这个椭圆2?2?上的点最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.
12
22.已知函数f(x)＝x＋ln x.
2(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；
23
(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x的图象的下方.
3
2
3
2
答案
1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.D 10.D 11.D 12.D 13.?x∈R，x＋1≤0 14.(5，0)
1
15.24 16.k≤ 17.1≤m≤2.
318.(1)y＝12x
(2)解 由(1)知F(3,0)，代入直线l的方程得k＝1.
??y＝x－3，
∴l的方程为y＝x－3，联立方程?2
?y＝12x?
2
2
消去y得x－18x＋9＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝18.
∵AB过焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋6＝24.
19.解 (1)由题设可知：f′(x)＝3x－6ax－b，f′(1)＝0且f(1)＝2，
?3－6a－b＝0，?4即?解得a＝，b＝－5.
3??1－3a－b＝2，
2
2
(2)∵f′(x)＝3x－6ax－b＝3x－6ax－9a， 又f(x)在[－1,2]上为减函数， ∴f′(x)≤0对x∈[－1,2]恒成立， 即3x－6ax－9a≤0对x∈[－1,2]恒成立. ∴f′(－1)≤0且f′(2)≤0，
??3＋6a－9a≤0
即?
?12－12a－9a≤0?
2
22
2
a≥1??
??4
a≥??7
?a≥1，
∴a的取值范围是a≥1.
20.解 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p)(p－20) ＝－p－150p＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去). 此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30的左侧L′(p)>0， 右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，毛利润L最大，为23 000元.
2
3
2
x2y2
21.解 设所求椭圆方程为2＋2＝1 (a>b>0)，
abca2－b23由e＝＝＝，得a＝2b.①
aa2
设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点P的距离为d，
a2y2
则x＝a－2，且
b2
2
d2＝x2＋?y－?2
2
??
3??
a22?3?2
＝a－2y＋?y－?
b?2?
2
922
＝－3y－3y＋4b＋
4
?1?22
＝－3?y＋?＋4b＋3，
?2?其中－b≤y≤b.
1
如果b<，则当y＝－b时，
2
d2取得最大值，
?3?22
即有(7)＝?b＋?，
?2?311
解得b＝7－>与b<矛盾.
22211
如果b≥，则当y＝－时，
22
d2取得最大值，即有(7)2＝4b2＋3.②
由①、②可得b＝1，a＝2.
所求椭圆方程为＋y＝1.
4
1??1?1?由y＝－可得椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标为?－3，－?和?3，－?. 2??2?2?
121?12?22.(1)解 由f(x)＝x＋ln x得f′(x)＝?x＋ln x?′＝x＋，在[1，e]上，f′(x)>0， 2x?2?所以函数f(x)是增函数. 12
所以f(x)max＝f(e)＝e＋1；
21
f(x)min＝f(1)＝. 2(2)证明 设F(x)＝f(x)－g(x) 1223
＝x＋ln x－x， 23
12
则F′(x)＝x＋－2x
x2
2
x＝
－x＋x＋2x2
x，
因为x>1，所以F′(x)<0.
所以函数F(x)在[1，＋∞)上是减函数.
1
又F(1)＝－，
6所以在[1，＋∞)上，有F(x)<0，即f(x) 23 所以在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x的图象的下方. 3
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