《流体力学》典型例题

《流体力学》典型例题（9大类）

例1~例3——牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用

例4~例5——流体静力学基本方程式的应用——用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之间的压差。 例6~例8——液体的相对平衡——流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容） （1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关） （2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关）

例9——求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断 例10~16——速度势函数、流函数、速度场之间的互求 例17——计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度 例18~20——动量定理应用（课件中求弯管受力的例子） 例21~22——总流伯努利方程的应用

例23——综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算

例题1：如图所示，质量为m＝5 kg、底面积为S＝40 cm×60 cm的矩形平板，以U＝1 m/s的速度沿着与水平面成倾角?＝30o的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度?＝1 mm，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。

UG=mg

?解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力?＝?duU?? dy?又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：

?F?ma?0，即：

mgsin????S?0

mgsin???5?9.8?sin30o?1?10?3????0.1021?N?sm2??4U?S1?40?60?10

粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具有传递运动和阻滞

运动的双重性。

例题2：如图所示，转轴的直径d＝0.36 m，轴承的长度l＝1 m，轴与轴承的缝隙宽度?＝0.23 mm，缝隙中充满动力粘性系数??0.73Pa?s的油，若轴的转速n?200rpm。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

nld

解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力

?＝?粘性阻力（摩擦力）：F???S???dl 克服油的粘性阻力所消耗的功率：

?n?d60? du??dy?dn?dn???d??n2lP?M??F?????dl???230230602?3?3.14?0.36??3602?50938.83(W)0.73?2002?1?0.23?10?3

例题3：如图所示，直径为d的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为?，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度?旋转，此时所需力矩为T，求间隙厚度?的表达式。

ωδ 解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径r处取径向宽度dr的微元面积环，根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面积环上受到的切向力为：

ddF??dT?dF?r??T??d20r??dA??r??2?rdr

r??2?r2dr

d2???4???d4dTdr?r?

2?32?0??的密度?水＝1000 kg/m3）。

???d432T

例题4：如图所示的双U型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度?（取管中水

??22h4h1h3h2h111?水解：经分析可知图中1-1和2-2为两组等压面。

h2

?水h3

21根据等压面的性质和流体静力学基本方程p?p0??gh，采用相对压强可得：

左侧：p1??水g(h1?h2)， 右侧：p2??水g(h4?h3) 中间：p1?p2??g(h3?h2)

联立可得：

?水g?h1?h2???g?h3?h2???水g?h4?h3?

??h1?h2?h3?h4?水

h3?h22h1h1hh2容器A容器Bzz容器A容器B例题5：如图所示，U型管中水银面的高差h＝0.32 m，其他流体为水。容器A和容器B中心的位置高差z＝1 m。求A、B两容器中心处的压强差（取管中水的重度?水＝9810 N/m3，水银的重度?水银＝133416 N/m3）。 解：图中1-1、2-2为2组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程p?p0??gh，可得：

pA?p1??水h1，p1?p2??水银h，pB?p2??水h2

h4 pA?pB??水银h??水?h2?h1???水银h??水?h?z??133416?0.32?9810??0.32?1??29743.92?Pa?例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H＝1.2m，长L＝3m，静止时盛水深度h=0.9m。现水箱以

3a?0.98ms2的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度??1000kgm，水箱中自由水面的压强p0＝98000Pa。

试求：

（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。 （2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度amax。

zHhOaLx

解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z轴垂直向上，x轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为 X??a,Y?0,Z??g 代入非惯性坐标系中的压力全微分公式dp???Xdx?Ydy?Zdz???dW，得

dp????adx?gdz? ①

积分得 p????ax?gz??c1

利用边界条件确定积分常数c1：在坐标原点O（x?z?0）处，p?p0，得c1?p0 由式①可得水箱内的压强分布

p?p0???ax?gz??98000?1000?0.98x?9.8z??98000?980x?9800z 对于水箱中的等压面，有dp?0，所以由式①可得等压面的微分方程

adx??gdz a积分得 z??x?c2

g上式给出了一簇斜率为?ag的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数c2?0。因此自由水面方程为

z??a0.98x??x??0.1x g9.8（2）假设水箱以加速度amax运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h?，则根据加速前后水的体积不变的性质可得

②

2又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系

L?h?(h??H)?L ③

gL②和③式联立求解，得：

amax?H?h?amax?2?H?h?2??1.2?0.9?g??9.8?1.96?ms2? L3例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D＝1 m，高H＝2 m，静止时水深为h＝1.5 m。求： （1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度?应控制在多大？

（2）当?＝6 rad/s时，筒底G、C点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？

DHhG

解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为r?0,z?H0，则由：

22??2r2?X??x,Y??y,Z??g?H0 ，可推出自由水面（为一等压面）的方程：z??2g??dp???Xdx?Ydy?Zdz??C根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：

?由此可求得：H0?h?D20??2r2??D22?r??H0?h ?dr?2g?4??2D216g，带入自由表面方程得：

D2?z?h??r??

2g?8?若使?达到某一最大值而水不溢出，则有r?D2时，z?H，带入上式，得

2?2?2?9.8??2.0?1.5?????8.854?rads?

??D?2D2??11??????????48?8????2??（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为

2g?H?h???2r2???2r2??2D2p??g??H0?z???g??h??z?

16g?2g??2g?将G点条件：r?0,z?0带入得：