线性规划题型及解法
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
?2x?y?2?例1、设变量x、y满足约束条件?x?y??1，则z?2x?3y的最大值为 。
?x?y?1?二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
?x?1,?22例2、已知?x?y?1?0,则x2?y2的最小值是 . “?x?1???y?2?”值域？
?2x?y?2?0?三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
?x?0例3、在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数z?y?0??y?x?s??y?2x?4?3x?2y的最大值的变化范围是（）
A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线x2?y2?4的两条渐近线与直线x?3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）
?x?y?0?x?y?0??(A)?x?y?0 (B)?x?y?0 (C)
?0?x?3?0?x?3??例5已知变量x，y满足约束条件??x?y?0??x?y?0 (D) ?0?x?3??x?y?0??x?y?0 ?0?x?3?五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
?1?x?y?4 若目标函数z?ax?y（其中a?0）仅在点(3,1)处取得最大值，
?2?x?y?2?则a的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
?x?y?2?0例６在平面直角坐标系中，不等式组??x?y?2?0表示的平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2
?y?0?
七、研究线性规划中的整点最优解问题
?5x?11y??22,?例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件?2x?3y?9,则z?10x?10y的最大值是(A)80
?2x?11.?(B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z?y?a时,可把z看作是动点P?x,y?与定点Q?b,a?连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为x?bPQ连线斜率的最值。
??x－y＋2≤0，y
例8、已知变量x，y满足约束条件?x≥1，则 的取值范围是（ ）.
x??x＋y－7≤0，
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（A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞）（C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6]
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九、求可行域中整点个数
例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）个。A、9 B、10 C、13 D、14 十、求线性目标函数中参数的取值范围
?x?y?5?例10、已知x、y满足以下约束条件?x?y?5?0，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）
?x?3?A、－3 B、3 C、－1 D、1
十一、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（ ） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）
1 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18
2 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x2?y2表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。x2?y2的最小值是为5。
3 解析：画出可行域如图3所示,当3?s?4时, 目标函数z?3x?2y在B(4?s,2s?4)处取得最大值, 即
处取得最大值,即zmax?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8);当4?s?5时, 目标函数z?3x?2y在点E(0,4)zmax?3?0?2?4?8,故z?[7,8],从而选D;
4 解析：双曲线x2?y2?4的两条渐近线方程为y??x，与直线x?3围成一个三角形区域（如图4所示）时有
?x?y?0 ??x?y?0?0?x?3?5 解析：如图5作出可行域，由z?ax?y?y??ax?z其表示为斜率为?a，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目
标函数z?ax?y（其中a?0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y??ax?z过Ａ点且在直线
x?y?4,x?3（不含界线）之间。即?a??1?a?1.则a的取值范围为(1,??)。
?x?y?2?06 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组??x?y?2?0表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶
?y?0?11点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：S?|BC|?|AO|??4?2?4.从而选Ｂ。
22zz7 解析：如图７，作出可行域，由z?10x?10y?y??x?，它表示为斜率为?1，纵截距为的平行直线系,要使
1010119z?10x?10y最得最大值。当直线z?10x?10y通过A(,)z取得最大值。因为x,y?N，故Ａ点不是最优
22整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Zmax?90.
图2
图1
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