北师大版必修5高中数学等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和

教学目的：

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题. 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点：灵活应用求和公式解决问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的 教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

n(a1?an) 2n(n?1)d2.等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?

2dd3.Sn?n2?(a1?)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

224.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

1.等差数列的前n项和公式1：Sn?（1） 利用an:

当an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an?1≤0，求得n的值 当an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an?1≥0，求得n的值 （2） 利用Sn：由Sn?d2dn?(a1?)n二次函数配方法求得最值时n的值 22 二、例题讲解

例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.

解：由2n－1＜60,得n＜

61,又∵n∈N* 2∴满足不等式n＜

61的正整数一共有30个. 2即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, a30=59,n=30的等差数列.

∵Sn=

n(a1?an)30(1?59),∴S30==900. 22答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和

分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}

由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,

∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2. 把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98. 它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列. 由Sn=

n(a1?an)33(2?98),得S33==1650. 2223答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650. 例3已知数列?an?,是等差数列，Sn是其前n项和，

求证：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；

⑵设Sk,S2k?Sk,S3k?S2k （k?N?）成等差数列

证明：设?an?,首项是a1，公差为d 则S6?a1?a2?a3?a4?a5?a6 ∵S12?S6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?S6?36d ∴

∵

S18?S12?a13?a14?a15?a16?a17?a18?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(S12?S6)?36d ?S6,S12?S6,S18?S12是以36d为公差的等差数列

同理可得Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是以k2d为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得S4=24, S5－S2=27 则设等差数列首项为a1,公差为d,

4(4?1)d?4a??24??12则 ?

?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?解之得：?

?a1?3

∴an=3+2（n－1）=2n+1. d?2?

2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求

x?x2????x7d1与1的值 y1?y2????y6d2 解：5＝1＋8d1, d1＝

d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝;

d2278 x1+x2+……+x7＝7x4＝7×

1?5＝21, 2