第1章 集合
集合的含义及表示 集合的特征是确定性、互异性、无序性，其中互异性是我们必须进行检验的一方面，否则集合中的元素便有了重复，在列举法、描述法、Venn图法三种集合表示法中，描述法略有难度，解题时应注意分清代表元素是什么，有什么共同特征．
【例1】 设集合A中含有三个元素2x－5，x－4x,12，若－3∈A，则x的值为__________． 思路点拨：根据－3∈A可知，2x－5，x－4x均有等于－3的可能，逐一解方程，并验证是否符合集合中元素的互异性．
3 [∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x－4x.
①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x－4x＝－3，不符合元素的互异性，故x≠1； ②当－3＝x－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元素的互异性． 综上可知x＝3.]
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1．集合中元素的互异性在解题中的应用
(1)借助于集合中元素的互异性找寻解题的突破口． (2)利用集合中原始元素的互异性检验结论的正确性． 2．描述法表示集合的关键
描述法表示集合的关键在于搞清楚集合的类型及元素的特征性质．当特征性质的表示形式相同时，因为代表元素的不同导致集合的含义不相同，所以研究描述法表示的集合时一定要特别关注集合中的代表元素的属性．
1．设A＝{1,4，x}，B＝{1，x}且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为________． {0,2，－2} [∵A∩B＝B，∴B?A，∴x＝4或x＝x，解得x＝±2或0,1， 当x＝1时，A，B均不符合互异性，∴x≠1，故x＝±2，0.]
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集合间的关系 解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是什么，是数集还是点集，再进行相关的运算，以免混淆集合中元素的属性．
分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系是解答集合问题的先决条件，也是正确使用集合有关术语和符号的基础．应明确：元素与集合的关系是“个体与集体的关系”，而集合与集合的关系是“集体与集体的关系”．
【例2】 设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，求a，b的值．
思路点拨：由B?A讨论B的各种情况，分别求解．
[解] 由B?A知，B中的所有元素都属于集合A，又B≠?，故集合B有三种情形：B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．
当B＝{－1}时，B＝{x|x＋2x＋1＝0}，故a＝－1，b＝1； 当B＝{1}时，B＝{x|x－2x＋1＝0}，故a＝b＝1； 当B＝{－1,1}时，B＝{x|x－1＝0}，故a＝0，b＝－1.
??a＝－1，综上所述，a，b的值为?
?b＝1，?
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??a＝1，
或?
?b＝1，?
??a＝0，
或?
?b＝－1.?
1．判断集合与集合之间的关系的基本方法
根据定义归纳为判断元素与集合间的关系，或利用数轴表示、Venn图表示，进行直观地判断．
2．求解集合间的基本关系问题的要点
(1)合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解．
(2)在解含参数的不等式(或方程)时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答．
2．已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为________．
A＝B [A表示所有奇数组成的集合．当k∈Z时，4k＋1表示被4除余1的数，4k－1表
示被4除余3的数，故B表示被4除余1或3的数，即被2除时余数为1，∴B也表示奇数集，故A＝B.]
集合的运算 集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．
【例3】 已知集合A＝{x|2a－2 ?RB，对A＝?与A≠?进行分类讨论，转化为等价不 等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． [解] ?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，∵A(1)若A＝?，则有2a－2≥a，∴a≥2. ??2a－2 ??a≤1 ?RB.∴分A＝?和A≠?两种情况讨论． ??2a－2 或???2a－2≥2， ∴a≤1. 综上所述，a≤1或a≥2. 1．集合间基本运算的方法 (1)求集合的交、并、补集是集合间的基本运算，若集合是用列举法给出的，在处理有关交、并、补集的运算时经常借助于Venn图来处理． (2)求解用不等式(组)表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，借助数轴解决与不等式(组)有关的集合的运算时要注意各个端点能否取到． 2．集合与不等式(组)结合的运算包含的类型及解决方法 (1)两种类型：不含字母参数、含有字母参数． (2)解决方法：①对于不含字母参数的直接将集合中的不等式(组)解出，在数轴上求解即可；②对于含有字母参数的，若字母参数的取值对不等式(组)的解有影响，要注意对字母参 数分类讨论，再求解不等式(组)，然后在数轴上求解． 3．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪?RA＝R，B∩?RA＝{x|0 [解] ∵A＝{x|1≤x≤2}，∴?RA＝{x|x<1或x>2}． 又B∪?RA＝R，A∪?RA＝R，可得A?B.而B∩?RA＝{x|0 可得B＝A∪{x|0 补集思想及其应用 在讨论一些较为复杂的问题时，可以先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，这就是补集思想．具体的讲，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，则A的补集即为所求． 【例4】 设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B≠?，求实数a的取值范围． 思路点拨：A∩B≠?，说明集合A，B有公共元素，由于在数轴上表示集合B的图形是两个断开的区域，需对集合A分多种情况讨论，求解比较繁琐．于是可从问题的反面入手，先由A∩B＝?，求出a的取值范围，然后利用补集思想求解． [解] 当A∩B＝?时，如图所示，则? ??a≥－1， ??a＋4≤5， 解得－1≤a≤1. 即A∩B＝?时，实数a的取值范围为 M＝{a|－1≤a≤1}． 而A∩B≠?时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a＜－1或a＞1}． 补集的性质A＝?U??UA?为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，考虑用补 集思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路. 4．已知集合A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． [解] 若A∩B＝A，则A?B. 又A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}， ??k－1≤2，所以? ?2k－1≥3，? 解得2≤k≤3. 又k∈R，所以当A∩B≠A时， 实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}的补集， 即(－∞，2)∪(3，＋∞)．
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