2020年中考数学人教版专题复习：圆

2020年中考数学人教版专题复习：圆

一、教学内容

1. 圆的有关概念和性质．

2. 点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判定． 3. 两圆相切、相交的性质． 4. 弧长、扇形面积的计算公式． 5. 圆锥的侧面展开图．

二、知识要点

1. 圆的对称性

圆是旋转对称图形，中心为圆心，它既是轴对称图形又是中心对称图形．由于圆的旋转对称性，所以在一个圆中，圆心角、弦、弧这三组量如果有一组量相等，则其余两组量也相等（如图①所示）．

由于圆的轴对称性，所以沿直径所在直线折叠，左右两部分重合，同时圆的轴对称性与等腰三角形有着密切的关系（如图②所示）．

AFOCE①DBCCDOAED②B③AOBOCA④B

2. 和圆有关的结论

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆（如图③所示）．

在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（如图④所示）．

3. 与圆有关的位置关系

点和圆的位置关系有：点在圆外、在圆上和在圆内（如图⑤所示）； 直线和圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交（如图⑥所示）；

lAdOC⑤B⑥OrdOlrdOlr

圆的圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含（如图⑦所示）． 从量的角度描述以上三种位置关系，都用半径和距离做比较．

O2O1O1O2O1O2O2O1O2O1⑦

4. 三角形的内心，外心

不在同一直线上的三点确定一个圆．

三角形的外心是三边垂直平分线的交点．（如图⑧所示）

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心．三角形内心是三角形三条角平分线的交点．（如图⑨所示）

AAOB⑧CB⑨CI

5. 直线和圆相切

定义：直线与圆有唯一交点，这时我们称直线与圆相切． 性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长：切线上的一点与切点之间线段的长叫做切线长．

切线长性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

6. 弧长和扇形面积

nπr如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么弧长公式为l＝180．

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如果设圆心角是nπr21

n?的扇形的面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积公式为S＝360或S＝2lr（l为扇形的弧长）．

7. 圆锥的侧面展开图

圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，扇形圆心角的度nπl2nπl数为n°，则有πrl＝360，2πr＝180．

三、重、难点

重点要掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题．难点是切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题．

四、考点分析

来源:Zxxk.Com][来源:Z.xx.k.Com]

圆的有关性质与圆的有关计算是近几年全国各地中考命题考查的重点内容，题型以填空

题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解题、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分．所考查的知识点通常有：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似三角形、三角函数的综合运用．

【典型例题】

例1. 选择题

（1）如图所示，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，70?，30°，则∠PAQ的大小为（ ）

P1101009080701206013050140403015020160101701800QA

A．10° B．20° C．30° D．40°

解析：设量角器的圆心角为O，连接PO，QO，知∠POQ＝70°－30°＝40°，而∠PAQ为︵11

PQ所对的圆周角，为∠POQ的一半，所以∠PAQ＝2∠POQ＝2×40°＝20°．

（2）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ） A．9π

B．18π

C．27π

D．39π

180πR

解析：设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，则180＝2πr，∴R＝2r，∵R2＝r2＋（33）

2，即（2r）2＝r2＋27，∴r＝3，R＝6，∴S

180π×62

侧＝360＝18π．故选B．

（3）如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A、C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）

A．（4，5）

B．（－5，4）

yBMC①OxCABDME②OxC．（－4，6） D．（－4，5）

yA

解析：如图所示，作ME⊥x轴于点E，并反向延长交AB于点D，连接MA，∵点A（0，8），1∴DE＝AB＝8，∴AD＝2AB＝4．∵⊙M与x轴相切，∴点E是切点，OE＝AD＝4，MA＝ME．∵在Rt△ADM中，MD2＋AD2＝MA2，∴（8－ME）2＋42＝ME2，∴ME＝5，∴点M（－4，5），故选D．

例2. 填空题

（1）如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形

连续翻动三次后，正方形ABCD的中心经过的路线长是__________cm．

AD(A)…BC(D)l

1

解析：依题意，知正方形ABCD的中心经过的路线长为3个4圆弧长，其半径为42，利用弧长公式可得三段弧长之和为62π，即正方形ABCD的中心经过的路线长是62πcm．

（2）如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠︵

BAC＝45°．给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是︵

劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确的结论的序号是__________．

AOEC

解析：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°，BD＝DC．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°－∠BAC＝45°，∴∠EBC＝22.5°．在△ABE中，∵∠ABE＝∠A，∴AE＝BE，而BE＜BC，∴AE＜BC，AE≠2EC．∵︵︵

∠ABE＝2∠EBC，∴劣弧AE是劣弧DE的2倍．因此正确结论的序号是①②④．

（3）已知⊙O的半径等于5cm，弦AB＝6cm，CD＝8cm，且AB∥CD，则AB、CD之间的距离为__________．

AOCFAE①DBCEOF②DBBD

解析：由于圆是一个轴对称图形，弦AB与CD位置有两种，如图①和②．在图①中，连接11

OA、OC，作OF⊥CD于F，交AB于E，则AE＝2AB＝3（cm），CF＝2CD＝4（cm），由勾股定理得OE＝OA2－AE2＝52－32＝4，OF＝OC2－CF2＝52－42＝3，所以EF＝OE－OF＝4－3＝1（cm），同理在图②中，EF＝OE＋OF＝4＋3＝7（cm）．故AB、CD之间的距离为1cm或7cm．

︵

例3. 如图所示，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交CB于D，连接AC． （1）请写出两个不同类型的正确结论； （2）若CB＝8，ED＝2，求⊙O的半径．

AOCEDB

解：（1）不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②BD＝CD；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE2＝OB2；⑧S△ABC＝BC·OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩1△BOE∽△BAC等等．（注：BE＝CE与BC＝2BE或CE＝2BC是同一类型，以上任取两个类型结论即可）

1

（2）∵OD⊥CB，∴BE＝CE＝2CB＝4．

设圆半径等于R，则OE＝OD－DE＝R－2， 在Rt△OEB中，由勾股定理得，OE2＋BE2＝OB2， 即（R－2）2＋42＝R2，解得R＝5， ∴⊙O的半径为5．

评析：在运用垂径定理解决圆的弦长问题时，一般要利用弦的一半、半径和圆心到这条弦的距离这三个量构成的直角三角形，应用勾股定理列方程求解．

例4. 如图所示，A是以BC为直径的⊙O上的一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．

（1）求证：BF＝EF；

（2）求证：PA是⊙O的切线．

EFGPBDOCA

证明：（1）∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC．

又∵AD⊥BC，∴AD∥BE， ∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC， BFCFEFCFBFEF

∴DG＝CG，AG＝CG，∴DG＝AG， ∵G是AD的中点，∴DG＝AG， ∴BF＝EF．