2015年上海初三数学竞赛（大同中学杯）（2015年12月6日）解答本题可以使用科学计算器一填空题（每小题10分，共80分）1、已知AB为圆O的直径，AB=1，延长AB到点C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则?ABD的面积为______________。解答：依据切割线定理可以得到：CD?CB?CA?CD?因为可以得到?CBD∽?CDA?
2
2。BDCD
?ADAC
因此有2BD1。??
AD2222222因为AB为圆O的直径，所以?ABD时直角三角形。依据勾股定理有AB?BD?AD?1?3BD?BD?1。3而S?ABD?
122BD?AD?BD2?226
2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为C7?35种，因为没有小球的数字不同，这样这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为C4?4第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两2个，取法有C4?C3?12.233
这样和为奇数一共有4?12?16种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为22
3、实数x,y满足x?3y?4，y?3x?4，x?y，则1635xy
?的值为____________。yx
2??x?3y?4?????①
解答：因为?
2??y?3x?4?????②
上述①②两个相减，得到：(x?y)(x?y)?3(x?y)?0。因为x?y所以有x?y?
3。2
2
2
上述①②相加得到x?y?3(x?y)?4?(x?y)?2xy?3(x?y)?4
154
xy(x?y)2?2xy?1所以xy?1。因此??yxxy4.若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为a,b,c。则有abc?23(a?b?c)。因为23是素数，从abc?23(a?b?c)，可以得到23能够整除三个素数a,b,c的abc积。从而可以得到其中有一个素数必为23。假设a?23这样就有bc?23?b?c?bc?b?c?1?24?(b?1)(c?1)?24?4?6?2?12因为b,c为素数，所以得到b?5,c?7或b?3,c?13这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。5.如图，圆O1与圆O2外切于点P，从圆O1上点A作圆O2的切线AB，B是切点，连接AP并延长，与圆O2交于点C．已知圆O1、圆O2的半径分别为2、1，则AC
?________．AB
解答：做如图所示的辅助线。可以得到AO1//CO2?PCCO21??PAAO12为此设PC?k，则PA?2k.应用切割线定理有：AB2?AP?AC?2k?3k?AB?6k.
所以3kAC6。??
AB26k6、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，?MON的两边分别是射线y??x(x??0)与x轴正半轴．点A(6,5)，B(10,2)是?MON内的两个定点，点P、Q分别是?MON两边上的动点，则四边形ABQP周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。应为四边形ABQP，其中一个边AB为定值。要求四边形ABQP周长的最小值，只要求另外三边的最小值。从对称可以得到A(5,6),B(10,?2).四边形另外三边的最小值为AB/依据两点间距离公式有。//
/
A/B/?(10?5)2?(?2?6)2?89，155
AB?(10?5)2?(2?5)2?34从而最小值为89?34。7.不定方程x?y2?xy?2x?2y的整数(x,y)解共有________组。22
解答：设x?y?k，所以从x?y2?xy?2x?2y，可以得到k?2xy?xy?2k
2
2
k?2k
所以k?2k?3xy?xy?。3
2
k2?2k
这样x,y是方程t?kt??0的两个根，并且根为整数。3
2
k?2k
所以??(?k)?4??0?k2?8k?0。因此有0?k?8。3
2
2
k?2kk(k?2)
同时要保证xy?为整数。这样就有k?0，3，5，6，8?
33
当k?0时，(x,y)?(0,0)2当k?3时，方程为方程t?3t?1?0没有整数解。2
当k?5时，方程为方程t?5t?5?0没有整数解。2
当k?6时，方程为方程t?6t?8?0，有整数解为2,4。所以(x,y)?(2,4)或(4,2)2当k?8时，方程为方程t?8t?16?0，有整数解为4,4。所以(x,y)?(4,4)2
整数(x,y)解共有4组8.设a是给定的正实数，n
是给定的大于1的整数，实数x1,x2,x3,???,xn满足x12?x22?x32?????xn2?a，则(x1?x2)2?(x1?x3)2?????(x1?xn)2?(x2?x3)2?????(x2?xn)2?????(xn?1?xn)2的最大值________________。解答：因为(x1?x2)?(x1?x3)?????(x1?xn)?(x2?x3)?????(x2?xn)?????(xn?1?xn)
2
2
2
2
2
2
?(n?1)(x12?x22?????xn2)?2x1(x2?x3????xn)?2x2(x3?x4????xn)?????2xn?2(xx?1?xn)?2xn?1xn156
?(n?1)a?2x1(x2?x3????xn)?2x2(x3?x4????xn)?????2xn?2(xx?1?xn)?2xn?1xn有这样的一个结论，因为x2?y2?x?y?2xy?2xy?x2?y2??(x2?y2)??2xy?x2?y2
而?2x1(x2?x3????xn)?2x2(x3?x4????xn)?2xn?2(xx?1?xn)?2xn?1xn
22
?[(x12?x22)?(x12?x32)????(x12?xn2)]?[(x22?x32)?(x22?x42)????(x22?xn2)]?[(x32?x42)?(x32?x52)????(x32?xn2)]????[(xn?22?xn?12)?(xn?22?xn2)]?(xn?12?xn2)]?(n?1)x12?(x?1)x22????(x?1)xn2?(n?1)(x12?x22????xn2)?(n?1)a所以最大值为2(n?1)a
二、解答题（第9、10题，每题15分，第11、12题，每题20分，共70分）9.如图，在△ABC中，BC??a，CA??b，?ACB??60?，△ABD是正三角形，P是其中心，求CP的长度．解答：分析作D点关于AB的对称点D。//
则?ADB为等边三角形，这样就有?ADB?60，已知0
/
?ACB??60?所以A,C,D
/
,B四点共圆。这个圆过P点。连接AP，BP。因为P是正三角形ABD的中心，所以AP?BP?23ABsin600?AB33因为A,C,B,P四点共圆，也就是四边形ACBP为圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理可以得到AB?PC?BP?AC?AP?BC所以PC?
3(a?b)。3
10.在1，2，…，2015这2015个正整数中选出k个数，使得其中任意两个不同的数的和都不是50的倍数，求k的最大值．解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4，…,47,48,49。共50中情况。而2015?50?40???15。下面吧从1,2，…，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。余数第1行第2行第3行11511012252102…………151565115…………242474124252575125262676126…………484898148494999149050100150157
…第40行第41行…19512001…19522002……………2015……………1998…1999…2000第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为26?24?(40?2?1)?15?977这样集合为这样式样{1,2,???,25,50,51,52,???,74,101,102,???,124,151,152,???,174,???,1951,1952,???,1974,2001,???,2015}
50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。因此k的最大值为977.11.已知△ABC的三边长均为正整数，周长为35，G和I分别为△ABC的重心和内心，且?GIC??90?，求边AB的长度．解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特征还是能够找到解题的路径的。由题意知道?GIC??90?，并且??平分?ACB,出现角平分+垂直的特征。这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长GI.很容易得到?CMN为等腰三角形，也就是CM?CN过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线。设?ABC的内接圆的半径为r。由面积法得到：S?CGM?S?CGN?S?CIM?S?CIN
也就是111
CM?GP?CN?GF??2rCN222所以GP?GF?2r
因为G为三角形ABC的重心，可以得到11
dB?AC?dA?BC?2r33
用面积法有：12S12S2S????23b3aa?b?c
611化简为??baa?b?ca?b6也就是?
ab356ab?35(a?b)，因为a,b为正整数158
所以得到ab?35k，则a?b?6k2
为此a,b为方程t?6kt?35k?0的两个根。??(?6k)2?4?35k?0?k?
有a?b?6k?35?k?
2359
35
。因此k?4,56
当k?4时，方程为t?24t?35?4?0?(t?14)(t?10)?0?t?14,10所以此时a?10,b?14。因此AB?11。2
当k?5时，方程为t?30t?35?5?0没有整数解。因此AB?11。212.设a,b是正整数，a?b2
2不是4的倍数，求证：(a?3b)(5a?7b)不是完全平方数．证明：a?b2?(a?b)(a?b)，当a,b为同奇数，或者同偶数时，可以得到222
a?b2?(a?b)(a?b)一定是4的倍数。已知a?b不是4的倍数，所以a,b中一个为奇数，一个为偶数。假设a?2n?1,b?2m。因为(a?3b)(5a?7b)?5a2?22ab?21b2?5(2n?1)2?22(2n?1)?2m?21(2m)2
?20n(n?1)?5?88mn?44m?84m2?20n(n?1)?88mn?40m?80m2?4m(m?1)?5
因为20n(n?1)?88mn?40m?80m?4m(m?1)能够被8整除。所以此时(a?3b)(5a?7b)被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。假如a?2m,b?2n?1，因为2
(a?3b)(5a?7b)?5a2?22ab?21b2?5(2m)2?22?2m(2n?1)?21(2n?1)2?20m2?88mn?44m?21?4n(n?1)?21?16m2?88mn?40m?21?4n(n?1)?16?4m(m?1)?5
从而16m?88mn?40m?21?4n(n?1)?16?4m(m?1)能够被8整除，所以此时2
(a?3b)(5a?7b)被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。综合可以得到：(a?3b)(5a?7b)不是完全平方数．159
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