第二部分 专题六
1．如图，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
kx
(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；
(2)若点P在直线y＝－x＋2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
(3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点， ∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，解得a＝－1，b＝－1， ∴A(－1,3)，B(3，－1)．
∵点A(－1,3)在反比例函数y＝图象上， ∴k＝－1×3＝－3，
3∴反比例函数的解析式为y＝－.
kxkxx(2)设点P(n，－n＋2)． ∵A(－1,3)，∴C(－1,0)． ∵B(3，－1)，∴D(3,0)．
11
∴S△ACP＝AC·|xP－xA|＝×3·|n＋1|，
22
S△BDP＝BD·|xB－xP|＝×1·|3－n|.
11
∵S△ACP＝S△BDP，∴×3·|n＋1|＝×1·|3－n|，
22解得n＝0或n＝－3，∴P(0,2)或(－3,5)． (3)存在．设M(m,0)(m＞0)，
∵A(－1,3)，B(3，－1)，∴MA＝(m＋1)＋9，MB＝(m－3)＋1，AB＝32， ∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA＝MB时， ∴(m＋1)＋9＝(m－3)＋1，∴m＝0(舍)；
1
2
2
2
2
2
2
2
1
212
②当MA＝AB时，∴(m＋1)＋9＝32， ∴m＝－1＋23或m＝－1－23(舍)， ∴M(－1＋23，0)；
③当MB＝AB时，(m－3)＋1＝32， ∴m＝3＋31或m＝3－31(舍)， ∴M(3＋31，0)．
则满足条件的M(－1＋23，0)或(3＋31，0)．
2．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝3x－4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝也经过A点，连接BC．
2
2
kx
(1)求k的值；
(2)判断△ABC的形状，并求出它的面积；
(3)若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如答图1，过点A分别作AQ⊥y轴于Q点，AN⊥x轴于N点．
答图1
∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AQ＝AN.
设点A的坐标为(a，a)， ∵点A在直线y＝3x－4上， ∴a＝3a－4，解得a＝2， 则点A的坐标为(2,2)．
∵双曲线y＝也经过A点，∴k＝4. (2)由(1)知，A(2,2)，∴B(4,0)．
2
kx∵直线y＝3x－4与y轴的交点为C，∴C(0，－4)， ∴AB＋BC＝(4－2)＋2＋4＋(－4)＝40，
2
2
2
2
2
2
AC2＝22＋(2＋4)2＝40，∴AB2＋BC2＝AC2，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S△
ABC11
＝AB·BC＝×22×42＝8. 22
(3)存在．如答图2，假设双曲线上存在一点M，使得△PAM是等腰直角三角形．
答图2
∴∠PAM＝90°＝∠OAB，
AP＝AM，连接BM.∵k＝4，
4∴反比例函数的解析式为y＝.
x∵∠OAB＝∠PAM＝90°，∴∠OAP＝∠BAM.
OA＝BA，??
在△AOP和△ABM中，?∠OAP＝∠BAM，
??AP＝AM，
∴△AOP≌△ABM(ASA)， ∴∠AOP＝∠ABM，
∴∠OBM＝∠OBA＋∠ABM＝90°， ∴点M的横坐标为4，∴M(4,1)．
则在双曲线上存在一点M(4,1)，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰三角形． 3．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4,0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．
mx
(1)求一次函数，反比例函数的解析式； (2)求证：点C为线段AP的中点；
(3)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
解：(1)∵点A与点B关于y轴对称，∴AO＝BO.
3
∵A(－4,0)，∴B(4,0)． ∵PB⊥x轴于点B，∴P(4,2)．
把P(4,2)代入反比例函数解析式可得m＝8， 8
∴反比例函数的解析式为y＝.
x??0＝－4k＋b，
把A，P两点坐标分别代入一次函数解析式可得?
??2＝4k＋b，
1??k＝，
解得?4
??b＝1，
1
∴一次函数的解析式为y＝x＋1.
4
(2)证明：∵点A与点B关于y轴对称，∴OA＝OB． ∵PB⊥x轴于点B，∴∠PBA＝∠COA＝90°， ∴PB∥CO，∴点C为线段AP的中点． (3)存在点D，使四边形BCPD为菱形． 理由如下：
1
∵点C为线段AP的中点，∴BC＝AP＝PC，
2∴BC和PC是菱形的两条边． 1
由y＝x＋1可得C(0,1)．
4
如答图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD，
BD，
答图
∴D(8,1)，且PB⊥CD， ∴PE＝BE＝1，CE＝DE＝4，
∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形， ∴存在满足条件的点D，其坐标为(8,1)．
4．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝(x＞0,0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
mxnx 4
(1)当m＝4，n＝20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说
解：(1)①如答图1.∵m＝4，
∴反比例函数y＝m4
x的解析式为y＝x.
∵当x＝4时，y＝1，∴B(4,1)，
∴当y＝2时，2＝4
x，解得x＝2，∴A(2,2)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 将A(2,2)，B(4,1)两点分别代入，
?得???
2k＋b＝2，解得??k＝－12，
?
?
4k＋b＝1，
??b＝3，
∴直线AB的函数表达式为y＝－1
2x＋3.
②四边形ABCD是菱形．
理由如下：如答图2，由①知，B(4,1)， ∵BD∥y轴，∴D(4,5)．
∵点P是线段BD的中点，∴P(4,3)． ∵当y＝3时，由y＝44
x得x＝3，
由y＝20x得x＝20
3
，
∴PA＝4－43＝83，PC＝203－4＝8
3，∴PA＝PC．∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形， ∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．
5
明理由．
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