2011年高考数学复习专项——高考数列真题汇编 8_one整理
2010年高考数学真题之数列汇编
1． （2010年高考山东卷理科22）(本小题满分14分) 已知函数f(x)?lnx?ax?(Ⅰ)当a?1?a?1(a?R). x1时，讨论f(x)的单调性； 21（Ⅱ）设g(x)?x2?2bx?4.当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使
4f(x1)?g(x2)，求实数b取值范围.
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【解析】本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分
类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。
1?a?1， 解：（Ⅰ）因为f(x)?lnx?ax?x1a?1ax2?x?1?ax?(0,??)， 所以 f(x)??a?2?xxx2'令 h(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??)，
1（0，+?）时，x1?x2,h(x)≥0恒成立，此时f'(x)≤0，函数 f(x)在
2上单调递减；
11 ②当0＜a＜时，?1＞1＞0，
2a ①当a? x?(0,1)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
1 x?(1,?1)时h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数 f(x)单调递增；
a1 x?(?1,??)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
a1 ③当a＜0时，由于?1＜0，
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x?(0,1)，h(x)＞0,此时f'(x)＜0，函数 f(x)单调递减； x?(1,??)时，h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)单调递增. 综上所述：
11(1),（Ⅱ）因为a=?(0,)，由（Ⅰ）知，x1=1，x2=3?(0,2)，当x?042时，f'(x)?0，
1?17?函数f(x)单调递减；?g(x)?min?g(2)?8?4b?0b?(2,??)?b??,???当
2?8?x?(1,2)时，f'(x)?0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在（0，2）上的最小值1为f(1)??。
2由于“对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使f(x1)?g(x2)”等价于 “g(x)在?1,2?上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值?又g(x)=(x?b)2?4?b2，x1??1,2?，所以
①当b?1时，因为?g(x)?min?g(1)?5?2b?0，此时与（*）矛盾 ②当b??1,2?时，因为?g(x)?min?4?b2?0，同样与（*）矛盾 ③当b?(2,??)时，因为?g(x)?min?g(2)?8?4b，解不等式8-4b??17?综上，b的取值范围是?,???。
?8?【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的
1”（*） 2117，可得b?
822011年高考数学复习专项——高考数列真题汇编 8_one整理
数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。 2．（2010年高考福建卷理科20）（本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x，其图象记为曲线C。 （i）求函数f(x)的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点
P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段
P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则32S1 为定值；S2（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax+bx+cx+d(a?0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
【解析】（Ⅰ）（i）由f(x)=x3-x得f'(x)=3x2-1=3(x-33)(x+)， 33当x?(-?,-33时，f'(x)>0； （，??）)和
33当x?(-33,)时，f'(x)<0， 333333，单调递减区间为(-（，??）)和,)。
3333因此，f(x)的单调递增区间为(-?,-（ii）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1,即
23??y?(3x1-1)x-2x1323x-x=得y=(3x-1)x-2x,由?(3x-1)x-2x11， 3??y=x-x21312即(x-x1)（x+2x1)=0，解得x=x1或x??2x1,故x2??2x1，进而有
S1???2x1x1(x3-3x12x+2x13)dx=274x1，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得 42011年高考数学复习专项——高考数列真题汇编 8_one整理
x3??2x2和S2=因此有
27427?164x2，又x2??2x1?0，所以S2=x1?0, 44S11=。 S216'（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a?0)的图象为曲线C，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式?b'的实数x1，曲线C与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点 3aP2(x2,g(x2))，曲线C与其在点P2(x2,g(x2))处的切线交于另一点P3(x3,g(x3))，线段
P1P2,P2P3与曲线C'所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则证明如下：
S1为定值. S2bb，g(?))平移至3a3a（?因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心
坐标原点，因而不妨设g(x)=ax3+hx(x?0)，类似（i）（ii）的计算可得
S1=27427?164S1x1，S2=x1?0,故1=。 44S2163. （21）(2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）
-x
已知函数f(x)=xe（x?R）.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)
(Ⅲ)如果x1?x2,且f(x1)?f(x2),证明x1?x2?2
【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。 【解析】（Ⅰ）解：f’(x)?(1?x)e?x 令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X f’(x) f(x) (??,1) + 1 0 极大值 (1,??) - ? ? 所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数。
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