高中数学竞赛专题讲座之数列

高中数学竞赛专题讲座之 数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an?

?A?a1

?B?a2

2，则?an?的最大项是（ B ）

n2?4n?5?C?a3 ?D?a4

232．（2006安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,anan?2?10an?t?n?3?，则lg(a100)? （ ）

A、98 B、99 C、100 D、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）

A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<数n是 （ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-

1的最小整1251的等比数列， 318[1?(?)n]1n1n1n-13∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)==6-6×(-)，∴|Sn-n-6|=6×()<，得：3>250，∴满足条件的最小

1331251?3整数n=7，故选C。

5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=

A．1

B．-1

3xn?13?xn

2005，则

?xn?1n= （ ）

C．2+3 D．-2+3

解：xn+1=

xn?1?3xn333，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+?), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+3, x3=-2-3, x4=-1, x5=-2+3,

62005x6=2-3, x7=1，??，∴有

?xn?1n?x1?1。故选A。

6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}、{bn}的前n项和分别为An，Bn记Cn?an?Bn?bn?An?an?bn(n?1)则数列{Cn}的前10项和为 ( C )

A10?B10 C.AA10?B10 10?B10 D.2 7．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

A .A10?B10 B.

则f2006(2006)＝ f(123)?12?22?32?14。记f1(n)?f(n)，fk?1(n)?f(fk(n))，k?1,2,3,?， (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ）

)?40记做2006?40，于是有 解： 将f(20062006?40?16?37?58?89?145?42?20?4?16??

从16开始，fn是周期为8的周期数列。故f2006(2006)?f2004(16)?f4?250?8(16)?f4(16)?145. 正确答案为D。

二、填空题部分

111111??5?410?3610?2345?11111?111.数列?an?的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn?(an?),则

2anan=___n?n?1___. d?a?90，2．（200 6天津）已知a,b,c,d都是偶数，且0?a?b?c?d，

列，b,c,d成等比数列，则a?b?c?d的值等于 194 ．

n3S(n)，则lim=___________。

n???S(n)4．（2006年江苏）等比数列?an?的首项为a1?2020，公比q??时，f?n?有最大值．

若a,b,c成等差数

3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，?，记这个数列前n项和为

1．设f?n?表示这个数列的前n项的积，则当n? 12 2

5. 在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 Aj,j?1,2,?，以及在第一象限内的抛物线y???2点列?Bk?,k?1,2,?，使?Ak?1BkAk（k?1,2,?）都是等边三角形，其中A0是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。

【解】：设第n个等边三角形的边长为an。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn的坐标为（a1?a2???an?1?3x上从左向右依次取2an， 2a?3?。 ?a1?a2???an?1?n?）

2?2?再从第n个等边三角形上，我们可得Bn的纵坐标为 即有

2ana?33?3?1?an???an??an。从而有?a1?a2???an?1?n?，22?2?2?2?2a12an?a1?a2???an?1?n。 22a12a12由此可得a1?a2???an?n?an （1） , 以及 a1?a2???an?1?n?1?an?1 （2）

222211(an?an?1)?(an?an?1)(an?an?1). 22变形可得 (an?an?1?1)(an?an?1)?0.

（1）－（2）即得 an?由于an?an?1?0，所以 an?an?1?1。在（1）式中取n ＝ 1，可得 因此第2005个等边三角形的边长为 a2005?2005。

6.(2005年浙江)已知数列xn，满足(n?1)xn?1?xn?n, 且x1?2， 则x2005= 【解】：由 (n?1)xn?1?xn?n，推出 xn?1?1?112，而a1?0，故a1?1。 a1?a1222005!?1。

2005!xn?1。因此有 n?1x?1xn?1?1xn?2?1x1?11xn?1?1?n??????.

n?1(n?1)n(n?1)n(n?1)(n?1)n(n?1)?2(n?1)!2005!?11?1。 从而可得 x2005?。

(n?1)!2005!a3a4aa??|ai?T,i?1,2,3,4},将M中的元素按从大到小的顺序排7. (2005全国)记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{1?27727374列，则第2005个数是（ ）

5563556211041103A．?2?3?4 B．?2?3?4 C．?2?3?4 D．?2?3?4

77777777777777774解：用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以7，得

即有 xn?1?M??{a1?73?a2?72?a3?7?a4|ai?T,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai?T,i?1,2,3,4}. M? 中的最大数为[6666]7?[2400]10。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。

1104而[396]10?[1104]7将此数除以74，便得M中的数?2?3?4.故选C。

7777n18．（2004 全国）已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，则?的值是

i?oai_________________________。

111即,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18,

anbn?1bn11113bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?,bn?1??2(bn?) 故数列{bn?}是公比为2的等比数列，

3333111111bn??2n(b0?)?2n(?)??2n?1?bn?(2n?1?1)。

33a0333解：设bn?nn?1n?211i?11?2(2n?1?1)?b?(2?1)??(n?1)???i?2?1??3?2?n?3?。 a33i?oii?0i?0??n,13,14,?，9．（2005四川）设r,s,t为整数，集合{a|a?2?2?2,0?t?s?r}中的数由小到大组成数列{an}：7,11则a36? 131 。

rst

2解：∵r,s,t为整数且0?t?s?r，∴r最小取2，此时符合条件的数有C2?1

2r?3，s,t可在0,1,2中取，符合条件有的数有C3?3 2同理，r?4时，符合条件有的数有C4?6

2r?5时，符合条件有的数有C5?10 2r?6时，符合条件有的数有C6?15 2r?7时，符合条件有的数有C7?21

因此，a36是r?7中的最小值，即a36?20?21?27?131

三、解答题部分

1．（200 6天津）已知数列{an}满足a1?p，a2?p?1，an?2?2an?1?an?n?20，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得an的值最小．

【解】令bn?an?1?an，n?1,2,?由题设an?2?2an?1?an?n?20，有bn?1?bn?n?20，且b1?1???5分 于是

n?1i?1n?1i?1?(bi?1?bi)??(i?20)，即bn?b1?[1?2???(n?1)]?2n(n?1)．

∴bn?(n?1)(n?40)?1． （※） ???????10分

2又a1?p，a2?p?1，则a3?2a2?a1?1?20?p?17?a1?a2． ∴当an的值最小时，应有n?3，an?an?1，且an?an?1．

即bn?an?1?an?0，bn?1?an?an?1?0． ???????? 15分

?(n?1)(n?40)?2?n?40*由（※）式，得? 由于n?3，且n?N，解得?，

(n?2)(n?41)??2n?40??∴当n?40时，a40的值最小． ????????????????? 20分

2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2???)?3sin?,设tan??x,tan??y,记y?f(x)。 (1)求f(x) 的表达式; f(x)?x 21?2x122n?2*(2)定义正数数列{an};a1?,an?1?2an?f(an)(n?N)。试求数列{an}的通项公式。an?. n?122?1

3．（2006安徽初赛）已知数列?an??n?0?满足a0?0，对于所有n?N?，有an?1?230an?an?1??11an?5，求an的通项公式．

2004

4. （2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。 （ 2+1）

5．（2006年南昌市）将等差数列{an}:an?4n?1 (n?N*)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2006的值.

解:由于an?15?an?60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an?15是3或5的倍数.

现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+?)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪?,注意第一个区间段中含有{an}的项

15

个,即

3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项

8

个,

为:b1?7,b2?11,b3?19,b4?23,b5?31,b6?43,b7?47,b8?59,于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项,且有b8k?r?br?60k,k∈N,1≤r≤8.

由于2006＝8×250+6,而b6?43所以b2006?60?250?b6?60?250?43?15043.

,6．（2004湖南）设数列{an}满足条件：a1?1,a2?2，且an?2?an?1?an(n?1,2,3,?) 求证：对于任何正整数n，都有 nan?1?1?1nan

证明：令 a0?1,则有 ak?1aa?ak?ak?1，且 1?k?k?1(k?1,2,?)， 于是 n?ak?1ak?1?ak?k?1ak?1n?ak?1 由算术-k?1ak?1n几何平均值不等式，可得1?naaaaa1a2????n+n0?1???n?1 a2a3an?1a2a3an?1注意到 a0?a1?1，可知 1?1nan?1?1nanan?1 ，即 nan?1?1?1nan

?an?1,当n为偶数时，??27．（2006年上海） 数列?an?定义如下：a1?1，且当n?2时，an??

1,当n为奇数时．?a??n?130，求正整数n． 19解 由题设易知，an?0,n?1,2,?．又由a1?1，可得，当n为偶数时，an?1；当n(?1)是奇数时，1an??1． ??????（4分）

an?130n3011?1，所以n为偶数，于是an?由an??1??1，所以，是奇数． 19219192nn?219819于是依次可得：an?是奇数， ?1， ?1是偶数，an?2??1??1，

?12411111142n?6n?611113是偶数，an?6?是奇数， an?2??1，?1??1，

?14888848n?14n?14885是偶数，an?14??1??1，是偶数， an?6??1，

?1816333816n?1452是奇数， ?????（9分） an?14??1??1，

323332n?46n?46331是偶数，an?46??1??1，是奇数， an?14??1，

?132642223264n?110是偶数， an?110?2?1?1， an?46?2?1，

?16464128n?110?1，解得，n＝238． ?????? （14分） 所以，

128 已知an?13. (2005全国)数列{an}满足：a0?1,an?1?27an?45an?362证明：（1）对任意n?N,an为正整数；(2)对任意n?N,anan?1?1为完全平方数。

证明：（1）由题设得a1?5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得2an?1?7an?22an?1?7anan?1?an?9?0 ①

245an?36,两边平方整理得

,n?N.

22?an?7an?1an?an?1?9?0 ②

①-②得(an?1?an?1)(an?1?an?1?7an)?0,?an?1?an,?an?1?an?1?7an?0? an?1?7an?ab?1. ③

由③式及a0?1,a1?5可知，对任意n?N,an为正整数.??????????10分

aa22（2）将①两边配方，得(an?1?an)?9(anan?1?1),?anan?1?1?(n?1n).④

3由③an?1?an?9an?(an?1?an)≡?(an?an?1)?mod3?

a?ann∴an?1?an≡(?1)?a1?a0?≡0（mod3）∴n?1为正整数

3④式成立.?anan?1?1是完全平方数.??????????????20分