2012年全国高中数学联赛模拟卷(十)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1?x?1)的定义域为 。(?3.?1) x?31172.在△ABC中。若sinA?cosA??，则cos2A? 。
393.在数列{an}中，a1?2,an?1?2an?2n?1(n?N*),则使an?10成立的最小正整数n的值
1.用区间表示函数f(x)?ln(是 。
an?1an?n?1(n?N*) n?1224.已知f(x)是R上的奇函数，对任意x?R，均有f(x?2)?f(x)，且x?(0,1)时，f(x)?x2，
3则f(?)?f(1)? 。
21提示：,f(?1?2)?f(?1),f(1)?0
45.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等 边三角形，O为AB边的中点，且PO?平面ABCD,则二面角
提示：3，a1?2,7 76.若正整数m使得对任意一组满足a1a2a3a4?1的正数a1,a2,a3,a4都有
1111a1m?a2m?a3m?a4m????成立，则正整数m的最小值为 。
a1a2a3a4提示：3，用排序不等式，右边＝a2a3a4?a1a3a4?a1a2a4?a1a2a3
不妨设a1?a2?a3?a4，列出三组必定成立
P?AC?D的余弦值为 。?7.函数f(x)?sin2kx?cos2kx,(k?N*)的最小值为 。
1，观察，归纳，证明。 2k?138.将方程x?3?[x]（[x]表示不超过x的最大整数）的实数解从小到大排列成?4?0提示：
x1,x2,?,xk，则x13?x23???xk3? 。
提示：16 x?3[x]?4,当[x]?0时，x?3[x]?4?[x]?[x]， ∴[x]?3[x]?4?0，?1?[x]?4，∵[x]?0，∴0?[x]?4 由于[x]?Z，验证可知[x]?1，此时，x?当[x]?0时，无解
当[x]?0时，[x]?x?{x}，由于0?{x}?1，故0?x?[x]?1 又x?3[x]?4?3(x?{x})?4?3x?3{x}?4 ∴?3?x?3x?4?0
33332337，[x]?2此时x?310 3第1页
?1?17?1?17 ,?1?x?223当x??1时，?3?x?3x?4不成立；又[x]?0 易得?1?x?0，x?Z,∴x??1，0 x13?x23???xk3?16
由x?3x?4?0 得x?3二、解答题（共3题，共56分）
9.（本题16分）设二次函数f(x)?x2?bx?c(b,c?R)与x轴有交点。若对一切x?R,有
12x2?3f(x?)?0，且f(2)?1，求b,c的值。
xx?111解：|x?|?|x|??2，所以，对满足|x|?2的实数x，有f(x)?0，则
x|x|f(x)?x2?bx?c?0的实根在区间[?2,2]内，所以f(x)?x2?bx?c(b,c?R)在区间
??f(2)?0?4?2b?c?0??[2,??)是增函数且?f(?2)?0??4?2b?c?0(*)
???4?b?4b???2???2?22x2?312x2?3?2?2?(2,3]，所以f(2)?1，即f(3)?1,9?3b?c?1 又2x?1x?1x?1代入（*）得，只有b??4，此时c?4。
,5,6,7}10.（本题20分）记集合T?{0,1,2,3,4，ai(i?1,2,3,4)是T中可重复选取的元素．
（1）若将集合M?{a1?8?a2?8?a3?8?a4ai?T,i?1,2,3,4}中所有元素按从小到大．．
的顺序排列，求第2008个数所对应的ai(i?1,2,3,4)的值； （2）若将集合N?{32a1a2a3a4?2?3?4ai?T,i?1,2,3,4}中所有元素按从大到小的顺序排．．8888列，求第2008个数所对应的ai(i?1,2,3,4)的值．
解：（1）记a1?83?a2?82?a3?8?a4=a1a2a3a4，它表示一个８进制数；Ｍ中最小值为0，
第2008个数在十进制数中为2007，
将2007化为８进制数即为3727，所以a1?3,a2?7,a3?2,a4?7． （２）因为
a1a2a3a41?2?3?4＝4(a1?83?a2?82?a3?8?a4)， 88888括号内表示的8进制数，其最大值为7777；
32∵ 7777＝7?8?7?8?7?8?7＝4095，从大到小排列，第２００８个数为
４０９５－２００８＋１＝２０８８ 因为2088＝4050，所以a1?4,a2?0,a3?5,a4?0．
x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B 11.（本题20分）已知椭圆95两点，过F2的直线交椭圆于C、D两点，且AB?CD，垂足为P．
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22x0y0?（1）设P点的坐标为(x0,y0)，求的最值； 95（2）求四边形ACBD的面积的最小值． 解：（１）由已知得F1（－２，０），F2（２，０），ＰF1⊥ＰF2，
22∴Ｐ(x0,y0)满足x0?y0?22，
22x0y0442x0， ?∴y?4?x,且0?x?4，∴＝?5459544∴它的最小值为，最大值为．
95 （２）若直线AB的斜率k存在且不为０，因AB?CD，∴直线AB的方程为y?k(x?2)，
1直线CD的方程为y?-(x?2)．
kx2y2??1和y?k(x?2)，消去y得：(9k2?5)x2?36k2x?36k2?45?0，联立95??302(k2?1)?0，
20202036k236k2?4530(k2?1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2??2，x1x2?，AB=； 29k?59k?59k2?5x2y21??1和y?-(x?2)，消去y得：(5k2?9)x2?36x?36?45k2?0，联立
k9522k?1??30(2)?0，
k3636?45k230(k2?1)设C(x3,y3)，D(x4,y4)，则x3?x4??，x3x4?， CD=；
9?5k29?5k29?5k24501450(k2?1)2450(k2?1)2SACBD?AB?CD??=， 22222492(9k?5)(9?5k)?(9k?5)?(9?5k)???2??当k??1时等号成立．
110450?10?当k为0或不存在时，SACBD??6?；
2349450综上，四边形ACBD的面积的最小值为．
492012年全国高中数学联赛模拟卷(十)加试
(考试时间：150分钟 满分：180分)
1.（本题40分）已知三角形ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，记BC的中点为O，∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R.求证：三角形BMR的外接圆和三角形CNR的外接圆有一个交点在边BC上.（45届IMO）
证明：首先证明A,M,R,N共圆。因为三角形ABC为锐角三角形，故M、N分别在线段AB、AC内。在射线AR上取一点R1,使A、M、R1、N共圆。因为AR1平分∠BAC，故R1M＝R1N.而点M,N在以O为圆心的圆上，故OM=ON。由OM=ON，R1M＝R1N知点R1在∠MON的平分线上。而AB≠AC，则∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平行，有唯一交点R,从而R1=R,即A,M,N,R共圆。
其次，设AR的延长线交BC于K,则K在BC边上。因为B,C,N,M共圆，故∠MBC=∠ANM.又因为
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A,M,N,R共圆，故∠ANM＝∠MRA，所以∠MBK＝∠MRA,所以B,M,R,K共圆。同理可证C,N,R,K共圆。证毕
AMNRR1BOKC
2.（本题40分）设a1,b1（i=1,2,…,n）是有理数使得对任意的实数x 都有
x?x?4??(aix?bi)2.求n的最小可能值。(2006国家队集训题，第二天)
2i?1n1??3???1??1?解：因x?x?4??x??????12??????,
2??2???2??2?22222故n=5是可以的，下证n=4不可以。 反证法 设x?x?4?42i42?(ax?b)iit?142,ai,bi?Q,
142则?a?1,?aibi?,?bi?4,
2t?1t?1t?115?42??42??4?故???ai???bi????aibi??(?a1b2?a2b1?a3b4?a4b3)2 4?i?1??i?1??i?1??(?a1b3?a3b1?a4b2?a2b4)2?(?a1b4?a4b1?a2b3?a3b2)2
上表表明a?b?c?15d??d(mod8) 有理，不妨搞a，b，c，d至少有一个奇数，且
22222a2,b2,c2,d2?0,1,4(mod8),上式显然无解，矛盾。
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3.（本题50分）设I?{1,2,3,?,199}，A?{a1,a2,a3,?,a100}?I，且A中元素满足：对任何
1?i?j?100，恒有ai?aj?200．
（1）试说明：集合A的所有元素之和必为偶数；
2222（2）如果a1?a2?a3???a100?10002，试求a1的值． ?a2?a3???a100解：（1）将集合I?{1,2,3,、、……、、?,199}的所有元素分组为{1,199}{2,198}{99,101}{100}，
共100组；由已知得，集合A的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．
∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个， ∴集合A的所有元素之和必为偶数．
（2）不妨设a1,a2,?,a99为依次从以上前99个集合中选取的元素，a100?100， 且记各集合的落选元素分别为b1,b2,?,b99，则ai?bi?200，(i?1,2,?,99)，
n(n?1)(2n?1)
622222∴ (a1?a2?a3???a1200)+(b12?b2???b99) 2222199(199?1)(2?199?1)=1?2?3???199==2646700，……①
619800， 而(a1?a2???a99)+(b1?b2???b99)=200?99＝由于1?2?3???n=
2222(a1?a2???a99)=10002-100=9902，
∴ (b1?b2???b99)=19800-9902=9898
22222∴ (a1?a2?a3???a1200)-(b12?b2???b99) 222222=(a1 ?b12)+(a2?b2)+…+(a99?b99)+a1002=(a1?b1)(a1?b1)+(a2?b2)(a2?b2)+…+(a99?b99)(a99?b99)+a100
=200[(a1?a2???a99)-(b1?b2???b99)]）+10000
（9902?9898）?10000＝10800 ……② =2002222由①②得：(a1?a2?a3???a100)=1328750 ．
4.（本题50分）对一个边长互不相等的凸n(n?3)边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？（06上海竞赛）
解：设不同的染色法有pn种．易知p3?6．
当n?4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，类似地，对边a3，…，边an?1均有2种染法．对于边an，用与边
an?1不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n－1边形的不同染色方法数的种数pn?1，于是可得
anan-1pn?3?2n?1?pn?1， pn?2n???pn?1?2n?1?．
n?3?1n)p3?于是 pn?2?(?32?， 2???(?n12)a1pn?2n?(?1)n?2，n?3．
综上所述，不同的染色方法数为pn?2n?(?1)n?2．
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