3.（本题50分）设I?{1,2,3,?,199}，A?{a1,a2,a3,?,a100}?I，且A中元素满足：对任何
1?i?j?100，恒有ai?aj?200．
（1）试说明：集合A的所有元素之和必为偶数；
2222（2）如果a1?a2?a3???a100?10002，试求a1的值． ?a2?a3???a100解：（1）将集合I?{1,2,3,、、……、、?,199}的所有元素分组为{1,199}{2,198}{99,101}{100}，
共100组；由已知得，集合A的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．
∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个， ∴集合A的所有元素之和必为偶数．
（2）不妨设a1,a2,?,a99为依次从以上前99个集合中选取的元素，a100?100， 且记各集合的落选元素分别为b1,b2,?,b99，则ai?bi?200，(i?1,2,?,99)，
n(n?1)(2n?1)
622222∴ (a1?a2?a3???a1200)+(b12?b2???b99) 2222199(199?1)(2?199?1)=1?2?3???199==2646700，……①
619800， 而(a1?a2???a99)+(b1?b2???b99)=200?99＝由于1?2?3???n=
2222(a1?a2???a99)=10002-100=9902，
∴ (b1?b2???b99)=19800-9902=9898
22222∴ (a1?a2?a3???a1200)-(b12?b2???b99) 222222=(a1 ?b12)+(a2?b2)+…+(a99?b99)+a1002=(a1?b1)(a1?b1)+(a2?b2)(a2?b2)+…+(a99?b99)(a99?b99)+a100
=200[(a1?a2???a99)-(b1?b2???b99)]）+10000
（9902?9898）?10000＝10800 ……② =2002222由①②得：(a1?a2?a3???a100)=1328750 ．
4.（本题50分）对一个边长互不相等的凸n(n?3)边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？（06上海竞赛）
解：设不同的染色法有pn种．易知p3?6．
当n?4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，类似地，对边a3，…，边an?1均有2种染法．对于边an，用与边
an?1不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n－1边形的不同染色方法数的种数pn?1，于是可得
anan-1pn?3?2n?1?pn?1， pn?2n???pn?1?2n?1?．
n?3?1n)p3?于是 pn?2?(?32?， 2???(?n12)a1pn?2n?(?1)n?2，n?3．
综上所述，不同的染色方法数为pn?2n?(?1)n?2．
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