a＋b
第四节 基本不等式：ab≤2 A组 三年高考真题（2016～2014年）
12
1.(2015·湖南，7)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )
abA.2 B.2 C.22 D.4
xy
2.(2015·福建，5)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
abA.2 B.3 C.4 D.5 3.(2015·陕西，10)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝f?关系式中正确的是( ) A.q＝r＜p C.p＝r＜q
B.q＝r＞p D.p＝r＞q
a＋b?1
，r＝(f(a)＋f(b))，则下列
2?2?4.(2014·重庆，9)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A.6＋23 C.6＋43
B.7＋23 D.7＋43
5.(2014·福建，9)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.0元 C.160元
B.120元 D.240元
6.(2015·天津，12)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．
x2，x≤1，??
7.(2015·浙江，12)已知函数f(x)＝?6则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是
x＋－6，x＞1，??x________．
x2－y2
8.(2015·山东，14)定义运算“?”：x?y＝(x,y∈R,xy≠0),当x＞0,y＞0时,x?y＋(2y)?x的
xy最小值为________．
9．(2014·浙江，16)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．
B组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·济南一中高三期中)若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( ) A.18 C.23
B.6 4
D.24
2.(2016·山东济南质量调研)已知直线ax＋by＝1经过点(1，2)，则2a＋4b的最小值为( ) A.2 C.4
B.22 D.42
11123.(2016·安徽安庆第二次模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
ababA.4 C.8
B.22 D.16
11
4.(2015·衡水中学四调)已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
x3yA.4 C.2
B.3 D.1
5.(2016·山东北镇中学、莱芜一中，德州一中4月联考)若直线ax－by＝2(a>0，b>0)过圆x2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则ab的最大值为________.
6.(2015·吉林市高三摸底)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是________. 7.(2015·山东济宁模拟)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
答案精析
A组 三年高考真题（2016～2014年）
12
1.解析 由＋＝ab，知a＞0，b＞0，
ab12∵＋≥2ab答案 C
11?11ba
＋＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号．2.解析 由题意＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)? ?ab?abab故选C. 答案 C
a＋b
3.答案 C 解析 ∵0＜a＜b，∴＞ab，
2又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，故f?
a＋b?
?2?＞f(ab)，即q＞p.
222，∴ab≥，∴ab≥22.故选C. abab
1
1111
又r＝[f(a)＋f(b)]＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)2＝f(ab)＝p.
2222
故p＝r＜q.选C.
4.解析 因为log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，
?3a＋4b>0，?
即3a＋4b＝ab，且?即a>0，b>0，
?ab>0，?
43?434b3a
＋＝7＋＋≥7＋2所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)??ab?abab4b3a
当且仅当＝时取等号，选择D.
ab答案 D
5.解析 设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，
4b3a
·＝7＋43， ab
4
因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，
x42×4?x＋?≥80＋20×2 依题意得，y＝20×4＋10?2x＋＝80＋20??x?x??
4x·＝160(当且仅当 x
4
x＝，即x＝2时取等号)，所以该容器的最低总造价为160元．故选C. x答案 C
log2a＋1＋log2b??log2ab＋1??log28＋1?
6.解析 log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤?22??＝??＝?2?＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2. 答案 4
2
2
2
x2，x≤1??
7.解析 ∵f(x)＝?6
x＋－6，x＞1，??x
1
∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－.
2当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0，
6
当x＞1时，f(x)＝x＋－6≥26－6，当且仅当x＝6时“＝”成立．
x∵26－6＜0，∴f(x)的最小值为26－6. 1
答案 － 26－6
2
x2－y2（2y）2－x2x2＋2y22x2·2y2
8.解析 由题意得，x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝2，当且仅当
xy2yx2xy2xyx＝2y时取等号． 答案 2
9.解析 由a＋b＋c＝0，得a＝－b－c，
则a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2＋c2). 又a2＋b2＋c2＝1，所以3a2≤2， 解得－答案
666≤a≤，所以amax＝. 333
6 3
B组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析 3a＋3b≥23a·3b＝23ab＝232＝6. 答案 B
2.解析 因为直线ax＋by＝1过点(1，2)，所以a＋2b＝1， 则2a＋4b＝2a＋22b≥22a·22b＝22a答案 B
11a＋b123.解析 由a＋b＝＋＝有ab＝1，则＋≥2ababab答案 B
4.解析 因为由对数的运算可知lg 2x＋lg 8y＝lg 2x
＋3y
＋2b
＋
＝22.
11
·＝22. ab
＝lg 2，∴x＋3y＝1，
11?113yx3yx11
＋(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝时，即x＝，y＝时取等号， ∴＋＝?x3y?x3y?x3yx3y26所以A正确. 答案 A
5.解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，代入直线方程得2a＋b＝2， 11
因为2＝2a＋b≥22ab，所以ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝1时等号成立，
221
所以ab的最大值为.
21答案 2
6.解析 由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)， ∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2. 答案 2
7.解析 ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，ab－2ab－3≥0，(ab－3)(ab＋1)≥0，故ab－3≥0， 即ab≥9，由a＞0，b＞0知，当且仅当a＝b＝3时等号成立. 答案 [9，＋∞)
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