静电场中的电介质
1、在一半径为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为εr。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ。试求介质层内的D、E和P。
分析：将长直带电导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面。在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布。
取同轴柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得电位移矢量D的分布。在介质中
D??0?rE，P?D??0E，可进一步求得电场强度E和电极化强度矢量P的分布。
解：由介质中的高斯定理，有?D?dS?D?2?rL??L 得 D??2?rer 在均匀各向同性介质中 E?D?0?r??2??0?rrer
P?D??0E?(1?2、一扁平电介质板（ε
2
r =
1?r2?r)?er
4）垂直放在一均匀电场里，如果电介质表面上的极化电荷面密
度为σ=0.5C/m ，求：（1）电介质里的电极化强度和电位移；（2）介质板外的电位移；（3）介质板内外的场强。
分析：根据均匀、各向同性电介质极化的极化规律求解。
2 解：（1）Pn???0.5C/m，D??rP?r?1?0.667C/m
2(2)D??D?0.667C/m2 (3)E?D?1.88?10V/m，E0?10D?0?r?0?7.53?10V/m
103、如图所示，平板电容器极板面积为S，间距为d，中间有两层厚度各为d1和d2（d=d1+d2）、电容率各为ε1和ε2的电介质，试计算其电容。
分析：电容器带电时两极板都是等势体。两层均匀、各向同性介质的介面平行于极板，也是等势面。不考虑边缘效应时，极板上的自由电荷以及介质各界面的极化电荷均呈均匀分布状态。因此，两层介质内部各自都是均匀电场，即D线连续，E线不连续。
解：设极板所带自由电荷为q，D和E方向都与极板垂直。运用高斯定理，
D1?D2??? E1?极板间的电势差为
U?E1d1?E2d2?(d1?d2)qD1?qqS
D2q?1?1S ，E2??2??2S
ε1 d1 ε2 d2 图3 1
AB?1?2S
电容量为 C?qUAB??1?2S?1d2??2d1?d2?1C1
上式也可表示为
1C?d1?1S?2S?1C2
即可等效为两个电容器的串联。
4、一平行板电容器的电容为100pF，极板面积为100cm，极板间充满相对电容率为5.4的云母电介质，当极板上电势差为50V时，求：（1）云母中的场强；（2）电容器极板上的自由电荷；（3）云母介质面上的极化面电荷。
分析：介质表面的极化电荷面密度由??P?en决定。
2
解：（1）充满电介质的平行板电容器电容量为C?UdCU?0?rSd
极板间的均匀电场强度大小为E???0?rS?12
?50?100?105.4?8.85?10?12?100?10?4V/m?1.05?10V/m
4（2）电容器极板上的自由电荷
?12?9?50C?5.0?10C Q0?CU?100?10（3）设电容器上极板带正自由电荷，则介质上表面处的极化强度P与面法向en反向 ，在介质下表面处则同向，所以，介质上表面的极化电荷为
Q1???1S?(P?en)S??(1?1)?0S??(1?1)Q0??4.1?10?9?r?rC
介质下表面的极化电荷为
???2S?(P?en)S?(1?Q21)Q0?4.1?10?9?rC
5、在半径为R的金属球外包有一层均匀介质层，外半径为R?。设电介质的相对电容率为
εr，金属球的电荷量为Q，求：（1）介质层内外的场强分布；（2）介质层内外的电势分布；（3）金属球的电势。
分析：系统具有球对称性，所以自由电荷和极化电荷也具有球对称分布。空间的电位移矢量和电场强度矢量径向分布。由静电平衡性质，球内场强为零。根据高斯定理可知，球外的电位移矢量大小连续而电场强度大小为分段连续分布。由此，可由电势的定义求得空间的电势分布，也可利用电势的叠加原理求得。
解：以球心为原点作半径为r的球形高斯面，根据介质中的高斯定理，
??D?dS?SDS?Q
2
可得空间电位移大小： D?Q4?r2r，r>R
（1） 由D??r?0E1，D??0E2，得介质内、外的场强大小为 E1?Q4??r?0rQ4??0r22，R?r?R?
，r?R?
E2?R R?
图3—10
介质层内外的电场方向均沿径向。 （2）介质层内的电势为 V1? ?介质层外的电势为 V2?（3）金属球的电势 V3?Q4??r?0(1R??R???rE?dl?Q1?rE1?dl??R?E2?dl
4??r?0r(??r?1R?)，R?r?R?
??rE?dl???rE2?dl?Q4??0r，r?R?
?r?1R?)
6、一平行板真空电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d。求：（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。
分析：在将电容器两极板拉开的过程中，由于极板上的电荷保持不变，极板间的电场强度亦不变，但电场所占的空间增大，系统总的电场能量增加了。根据功能原理，所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服静电引力所作的功。 解：（1）电场的能量密度为
we?12?0E2?Q222?0S
而极板间距由d被拉开到2d后，电场所占有的空间的体积由V增加到2V，则电场能量增加为
?We?we?V?Qd2?0S2
（2）两极板带等量异号电荷，外力F将其缓缓拉开时，应有F = - Fe，则外力所作的功为
3
A??Fe??r?QE?d?Qd2?0S2
即外力所作的功等于静电场能量的增加。
7、半径为2.0cm的导体球，外套同心导体球壳，壳的内外半径分别为4.0cm和5.0cm，球壳内外空间均为空气，当内球的电荷量为3.0?10?8C时，（1）这个系统储藏了多少电能；（2）如果用导线把球与球壳联在一起，结果如何？ 分析：根据导体系统静电平衡的性质，确定电荷分布后即可确定空间的电场强度分布。对于非均匀电场，其能量可由能量密度对空间求体积分，也可由电容器的储能公式求得。
解1：用 W?1????2V0EdV 计算。
2（1）设内球带电q，则静电平衡时，球壳内表面带电 —q，外表面带电q。系统在空间的电场分布为
?0? E??1?4???(r?R，R1?r?R2)(R?r?R1，r?R2)q
0
r2则球与球壳间的能量 W1?1???2V1?0EdV?2?02R1（?R14??0qr2）4?rdr?22q28??(01R?1R1)
球壳外空间的能量
W2?12???V2?0EdV?2?02?（?R2?414??0qr2）4?rdr?22q2108??R2
W?W1?W2?1.82?10J
（2）用导线把球与球壳联在一起，由静电平衡条件可知，球与球壳内表面所带电量为零，W1?0。球壳外表面带电量及电荷分布不变，所以
W?W2?8.1?10?5J
解2：利用W?1Q22C计算。
（1）整个系统可视为球与球壳内表面组成的球形电容器C1和球壳外表面与无限远处之间的
电容器C2的串联。球形电容器的电容为 C?4??RARB0RB?RARR10
则 C1?4??
R1?R， C2?4??0R2
4
串联后等效电容有
11111C?C?1?11C24??（0R?R?2R） 1静电场的能量为
W?1Q21112C?q28??（0R?R?82?10?4J
2R）?1.1（2）用导线把导体球与球壳联在一起后，带电体电容为C2，则
2W?1Q22C?q128??0R?8.1?10?5J
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